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子群结构以及子群的阶对群的结构的影响是群论中研究较早,成果丰富的重要课题,本文首先继续这方面研究,参考了许多相关研究成果,比如:内循环群,内交换群,内幂零群,极大交换子群阶之集刻画单群等.将得到了以下主要结论:
定理3.2若G是有限可解群,则G中每个非平凡正规子群都是循环群的充要条件是群G为下列几种互不同构的类型:
(1)G为循环群;
(2)G为pq阶非交换群;
(3)G≌Zp×Zp;
(4)G为8阶四元数群;
(5)G=,有如下定义关系:um=1,vp=1,v-1uv=ur,其中p为素数,m,r为正整数,且((r-1),m)=1,(p,m)=1,rp≡1(mod m).
定理3.4若G是有限可解非交换群,则G中每个非平凡正规子群都是交换群的充要条件是群G为下列几种互不同构的类型:
(1)G为pqn阶q-基本群,其Sylow q-子群N是初等交换群,q模p的指数为n,若x为G的—个p阶元,则对任何1≠a∈N,N=××…×,G是以N为Frobenius核的Frobenius群;
(2)G为8阶四元数群;
(3)G= apa=bpβ=cp=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc.
(4)G= apα=bpβ=1,ba=a1+pa-1b.
(5)群G的中心Z(G)=1,G=G×,其中G是交换群,是素数p阶循环群,p是|G|的最小素因子,且(|G|,p)=1.
(6)群G的中心Z(G)≠1,Gn Z(G)=1,令(-G)=G/Z(G),则有Z((-G))=1,且(-G)=(-G)<-x>,其中(-G)是交换群,<-x>是素数p阶循环群,p是|(-G)|的最小素因子,且(|(-G)|,p)=1.
定理3.5若G是有限可解非幂零群,则G中每个非平凡正规子群都是幂零群的充要条件是群G为下列几种互不同构的类型:
(1)G为pqn阶q-基本群,其sylowq-子群N是初等交换群,q模p的指数为n,若x为G的—个p阶元,则对任何1≠a∈N,N=××…×,G是以N为Frobenius核的Frobenius群;
(2)G=G×,Z(G)=Φ(G)=1,其中G是交换群,是素数p阶循环群,p是|G|的最小素因子,且(|G|,p)=1.
(3)G=G,其中G是幂零群,Φ(G)<G,Gn≤Φ(G),|G/G|=p,p是|G/Φ(G)|的最小素因子,且(|G/Φ(G)|,p)=1,Z(G/Φ(G))=1.
其次,本文讨论的第二个问题是极大交换子群阶的集合对群结构的影响.特别地,针对交错群和对称群进行了讨论,得到如下结果:
定理4.1设G为有限群,则G≌An当且仅当M(G)=M(An)(其中n=r,r=2t+1,r,t均为素数)
定理4.2设G为有限群,则G≌An当且仅当M(G)=M(An)(其中n=r+1,r=2t+1,r,t均为素数)
定理4.3设G为有限群,则G≌An当且仅当M(G)=M(An)(其中n=r+2,r=2t+1,r,t均为素数)
推论4.4设G为有限群,则G≌Sn当且仅当M(G)=M(Sn)(其中n=r,r+1,r=2t+1,r,t均为素数)