谱图理论是图论的一个重要分支，它主要通过对图的谱性质进行研究，从而刻画其结构性质.在谱图理论中，邻接谱理论占据着重要的位置，其中，图的惯性指数研究，是近年来邻接谱理论的热点问题之一.图的惯性指数包括其对应的邻接矩阵的零特征值重数（即零维数），正惯性指数以及负惯性指数.图的秩被定义为其邻接矩阵的秩.而与这些指数相关的另一个重要参数是图的符号差，它也被自然地定义为图的正、负惯性指数之差.　　图的惯性指数问题起源于量子化学领域.依据Hückel理论，不饱和碳氢化合物的分子性质的活跃性很大程度上取决于其分子图的惯性指数，其中分子图的零维数关系到分子本身是否排列在稳定的轨道上;而正负惯性指数则影响分子中所有电子所带的总能量大小.早在1957年，L.Collatz与U.Sinogowitz便提出要刻画所有的奇异图这一公开问题，即刻画所有零维数大于零的图的问题.当然，研究一个(0，1)-对称矩阵的惯性指数问题，本身也是数学工作者关心的，因此图的惯性指数很快便成为谱图理论中一个热点课题.　　本文中，我们将从五个部分来考察图的惯性指数问题.第一章是该问题的研究背景与本文常用的符号和定义.第二章中，我们先是给出了图的秩与三个重要结构参数，即匹配数、独立数以及边色数的不等式关系，并刻画了其中部分等号成立的情况.针对L.Collatz与U.Sinogowitz提出的公开问题，我们还刻画了秩为6的简约图（即刻画零维数为n-6的n阶简约图）.第三章的研究对象是图的正负惯性指数，我们得到了图的正负惯性指数与匹配数的不等式关系，并刻画了等号成立的充要条件.关于符号差的研究工作被安排在第四章，我们先是考察了当去掉割点时图的符号差的变化情况，随后针对一个关于符号差的猜想，证明了该猜想对任意线图和任意树的幂图都是成立的.在第五部分，我们将简单图的秩的概念与问题推广到定向图及其斜秩中，我们刻画了对任意给定斜秩下，直径达到最大的定向图，并对任意阶数的定向完全图的斜秩给出了一个下界.