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关于不定方程x2-1=3py2,x3-27=py2(p为素数),当p≡1(mod6)时方程的求解较为困难,很难找到一个统一的方法把这类不定方程的整数解全部给出.本文分别使用代数数论的方法以及初等方法中的递归数列,二次剩余,pell方程,同余法来研究了上面两个不定方程.
作为代数数论中重要组成部分,二次域,理想数唯一分解定理对研究不定方程有重要作用,第三章我们用代数数论的方法给出方程只有平凡整数解的充分条件,当p≡1(mod24),Q(√-3p)的类数为h,(3,h)=1时,x3-1=3py2只有平凡整数解(x,y)=(1,0).类似方法可得出当p≡19(mod24),Q(√-p)的类数为h,(3,h)=1时,x3-1=py2只有平凡整数解(x,y)=(1,0).
对不定方程x3-1=3py23p<100[20]的情况已全部解决,当不定方程有非平凡整数解时,代数数论的方法受到局限,至今仍没有找到一个方法来给出方程的全部整数解,第四章我们考虑了p<50即当p=37,43时的情况,得出x3-1=111y2仅有整数解(x,y)=(1,0),(10,±3);x3-1=129y2仅有整数解(x,y)=(1,0),因为x3-1=3py2与x3-27=py2有密切联系,我们同时给出x3-27=py2,当p=37,43时全部整数解的情况.x3-27=37y2仅有整数解(x,y)=(3,0),(30,±27),(4,±1),(844,±4031);x3-27=43y2仅有整数解(x,y)=(3,0).