1984年,冯康及其研究小组提出了哈密尔顿系统的辛几何算法,具有长时间精确计算的能力,并能近似地保持系统能量守恒特性.近年来,R.I.McLachlan和G.R.W.Quispel等人基于离散梯度法的思想,提出了保哈密尔顿系统能量守恒特性的平均向量场方法.本文主要研究平均向量场方法的理论及其在高阶非线性薛定谔方程中的应用和辛几何算法求解描述三能级冷原子介质中的二维非线性薛定谔方程,并分析孤立子的演化.在第一章,我们首先介绍哈密尔顿系统的离散梯度法,再介绍能量守恒微分动力系统的一些性质,在此基础上分析常微分方程和偏微分方程的离散梯度方法.最后我们利用B级数理论分析离散梯度法的精度和分析了哈密尔顿系统经典的数值解法如中点格式和Runge-Kutta方法的能量守恒特性.在第二章,我们提出了用一种新的方法离散梯度法求解高阶非线性薛定谔方程.首先利用离散梯度法离散高阶非线性薛定谔方程,得到高阶非线性薛定谔方程的离散梯度格式.利用高阶非线性薛定谔方程的离散梯度格式和相应的辛格式在不同饱和非线性效应和不同振辐下对孤立子进行数值模拟.数值结果表明离散梯度格式能很好模拟高阶非线性薛定谔方程中孤子行为,比辛格式更好地保持Hamilton系统的能量.在第三章中,冷原子介质中的光孤子在电磁感应透明(EIT)的作用下表现出很多奇特的特性,对描述这些特性的理论模型的研究在光信号处理和传输方面具有重要的意义.描述三能级冷原子EIT介质中空间孤立子演化的二维饱和非线性薛定谔方程被转化成辛结构的Hamilton系统,利用辛几何算法离散Hamilton系统得到了相应离散的辛格式,并且利用辛格式数值模拟了三能级冷原子EIT介质中在相同振辐不同相位的二个,四个光孤子的相互作用行为.数值实验结果表明：冷原子介质中多个光孤子的相互作用行为不但与入射高斯光束的相位有关,还和入射高斯光束的方向有关.入射的高斯光束能在冷原子介质中形成稳定的孤立子.