迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象，是非线性科学研究的热点领域之一，它揭示了系统以间歇、不连续的方式演化规律。对迭代的研究涉及线段上的自映射，迭代根与迭代函数方程，迭代根与嵌入流等问题．迭代方程就是以迭代为基本运算形式的方程．漫长的历史沉淀使迭代方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要的作用．在本文绪论中介绍了迭代、迭代方程和Hyers-UIam稳定性的一些基本概念，迭代与动力系统的关系和若干数学领域中的迭代方程．并综述了近年来国内外数学家对迭代根、迭代方程和函数方程的Hyers-Ulam稳定性取得的成果及一些未解决的问题。 第二章研究了三次多项式型迭代方程解的性质。关于n次多项式型迭代方程的问题，前人研究了它的线性差分形式，并利用它描述了n次多项式型迭代方程，同时也利用它降低方程迭代的次数和简化特征根的个数，从而给出了n次多项式型迭代方程在具有重特征根情形下解的一般迭代式．并利用这个一般迭代式，讨论了n次多项式型迭代方程所有相异的实特征根在同号的某些情形下连续解的特征构造．以及在没有实特征根的情形下证明了方程不存在实连续解．本章在综述n次多项式型迭代方程有关结果的基础上，分析三次多项式型迭代方程的特征根，利用其特征解所描述的通解一般迭代式．在前人所研究的结果中未曾涉及的一些特征分布下，针对实特征根的某些非临界情形和在实特征根中至少有一个绝对值等于1的某些临界情形讨论了三次多项式型迭代方程实连续解的性质。 第三章研究了推广的二次螺线根方程．关于二次螺线根方程的问题，前人已经给出了它的通解和Hyers-Ulam-Rassias稳定性，但对更一般的方程——推广的二次螺线根方程的通解和Hyers-Ulam-Rassias稳定性尚无结果。本章首先将推广的二次螺线根方程化成Krull方程，通过建立Krull方程的引理，研究了推广的二次螺线根方程的通解。本章还讨论了推广的二次螺线根方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性和相对应的齐次方程在Ger意义下的稳定性，并将相关的结果应用到具体例子之中，从而前人所研究的关于二次螺线根方程的有关结果被我们的结果所推广。