【摘 要】
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本学位论文分为两个部分.在第一部分中我们研究如下的tiling问题:能否将平面上的一个正方形区域分解成若干个全等的凸多边形.换句话说,我们考虑Ω=∪i=1NPj对于某个正整数N成立的可能性,其中等式右端是一个测度不交并,Ω（?）R2是一个正方形,Pj与凸n边形P全等,n≥4是正整数.我们首先利用图论的知识找到了一个用来判定上述tiling方程成立的必要条件.这个条件既可以直接否定n≥6的情况,也可
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本学位论文分为两个部分.在第一部分中我们研究如下的tiling问题:能否将平面上的一个正方形区域分解成若干个全等的凸多边形.换句话说,我们考虑Ω=∪i=1NPj对于某个正整数N成立的可能性,其中等式右端是一个测度不交并,Ω（?）R2是一个正方形,Pj与凸n边形P全等,n≥4是正整数.我们首先利用图论的知识找到了一个用来判定上述tiling方程成立的必要条件.这个条件既可以直接否定n≥6的情况,也可以用来在n=5时对满足tiling方程的凸多边形的角度做进一步的讨论,从而将需要考虑边的关系的情况限制在有限少数几种.然后对于有限几种特殊情况,我们通过对满足tiling方程时凸多边形边的性质进行研究,从而得到了矩形不可以分解成若干全等的凸五边形的结论.在n=4时我们重点讨论了P是直角梯形的情形.此部分的内容是对广义Danzer猜想的回答.本论文的第二部分讨论了自相似tiling的若干拓扑性质.我们主要讨论具有乘积形式数字集的自相似tiles的拓扑性质,包括连通性和连通分支个数等.全文主要内容如下:第二章的内容是论文中证明所需要的一些基本知识.在第三章中,我们通过对满足tiling方程的所有tile的顶点进行分类（根据顶点的度数）,找到了一个tiling方程成立的必要条件.特别的,该条件在n≥6时候的必然不成立.在第四章中,我们首先利用上述必要条件在n=5时候的特殊性来逐步的讨论满足tiling方程的凸五边形的角度所应该满足的条件.论证表明需要进一步讨论的凸五边形仅仅有五种.我们设计了一套计算机程序,用来在知道P的角度顺序的条件下判定满足tiling方程的凸五边形的各条边的大小关系.最后对每一种剩余下来的可能性进行进一步的讨论.在第五章中,我们对P是直角梯形的情况进行讨论.通过对由所有tile的斜边所构成的斜边图是否是欧拉图的情况进行分别讨论,我们证明了当tiling方程只有在N是偶数的时候才能成立,这从另外一个角度证明了广义Danzer猜想在直角梯形情况下的正确性.在第六章中,我们讨论满足tiling方程的凸四边形应满足的若干必要条件.在第七章中,我们首先介绍自相似砖块的基本性质,然后对具有乘积形式的数字集的自相似砖块的拓扑性质进行研究,主要考虑了R2中相似射砖块的连通性和连通分支的个数等性质.最后简单介绍了R3中自相似砖块的性质,这也是作者希望以后重点考虑的问题.
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