基于Galerkin框架和正交多项式的优势,谱与谱元方法被广泛应用于求解具有高正则性解的微分方程。然而在许多科学计算问题中,方程本身及其真解往往具有一定的奇性,从而限制了谱方法的实际应用效果。为了恢复谱方法处理奇性问题的高效性,我们需要根据实际问题设计完全克服方程及其真解奇性的谱方法。本文针对反幂势薛定谔方程和分数阶Laplace方程这两类极具代表性的难点奇性问题,开展具有指数收敛阶的高效谱与谱元方法研究,主要内容包括:（1）提出任意维球体与任意多边形区域上反幂势薛定谔方程特征值问题的高效谱与谱元方法。对含反位势的薛定谔特征值问题-△u+c2∣x∣-2u+γ∣x∣-1u=λu,我们首先在任意维球上构造贴合特征函数奇性的Sobolev正交函数系,并设计新型谱方法的数值格式和算法。在此基础上,我们提出了任意多边形区域上该问题的谱元方法:以奇点为中心划出一个适当大小的圆盘,圆内采用能贴合奇性的非多项式Sobolev基函数谱方法,圆外采用（曲边）四边形或者（曲边）三角形网格与C0-协调谱元,圆盘内外单元之间通过mortar元或其他非协调元方法进行信息交换。针对含反立方势的薛定谔特征值问题-△u+c32∣x∣-3u+c22∣x∣-2u+c12∣x∣-1u=λu,我们设计了类似于含反位势的薛定谔特征值问题的新型高效谱方法。最后,本文将反幂势方程谱方法运用到矩形区域上燃料电池数学模型特征值问题-（?）2/（?）x2u-1/x2（?）2/（?）y2=λu的数值求解中。以上问题的谱方法均取得了指数阶的收敛速度。（2）提出任意维全空间上反幂势薛定谔方程的新型谱方法。以逆平方势薛定谔方程为例,从算法设计、数值实验和理论分析上全面探讨了全空间上反幂势薛定谔方程特征值问题与具有rα型奇异解的薛定谔方程源问题的谱方法。为此,我们定义了关于Muntz级数{αn}的Muntz-Hermite函数Lkαn（r2）e-r2/2αn+1-d/2Yn（?）（ξ）,并针对特征值问题和源问题分别选择合适的Muntz级数构造基函数,在此基础上设计Galerkin谱逼近格式和算法。得到的离散代数系统的矩阵具有高度稀疏性,对源问题来说右端项积分还可以通过快速Fourier算法来计算。我们给出了特征值问题中数值特征值和特征函数的最优误差估计以及源问题中Galerkin谱方法的数值解逼近真解的收敛性分析,数值实验结果验证了理论分析的正确性。（3）提出并研究了任意维球上分数阶Laplace方程的高效谱方法。采用球调和函数和Jacobi多项式构造球正交多项式/函数作为分数阶Laplace方程的高效基函数,并在对称变分形式的基础上设计相应的Galerkin谱方法逼近格式与求解算法。在数值分析方面,我们给出了分数阶Laplace方程特征值问题中数值特征值的上下确界估计、特征函数的误差估计和代数特征系统矩阵条件数的紧致估计以及源问题中解的正则性分析。发展了球正交多项式逼近理论,并应用该逼近理论证明了分数阶Laplace方程的收敛性分析。