本文首先考虑奇异半线性椭圆问题｛-△u=u-γ+g(x，u)， x∈Ω，u＞0， x∈Ω， (1)u=0， x∈()ΩQ，其中，Ωc RN(N≥3)是具有光滑边界()Ω的有界区域，γ＞0是一个正常数，g：Ω×R→R是一个Carathéodory函数，即：对任意的s∈R，g(x，s)关于x是可测的；对几乎所有的x∈Ω，g(x，s)关于s是连续的．我们的具体做法是利用变分方法和极小作用原理。 主要结果如下： 定理1假设函数g(x，s)满足如下条件：(g1)存在两个函数a∈L2n/n+2(Ω)和b∈Ln/2(Ω)满足│g(x，s)│≤a(x)+b(x)│s│，对一切的s∈R和几乎所有的x∈Ω成立，(g2)存在一个正常数m，使得lims→+∞ g(x，s)/s=m，对几乎所有的x∈Ω成立． 如果m＜λ1，那么问题(1)在C(Ω)∩(∩1≤p＜∞ W2,ploc(Ω))中有—个解存在，其中入λ1表示具有齐次Dirichlet条件的-△的第一个特征值。 定理2假设函数g(x，s)满足定理1中的条件(g1)和如下假设(g3)存在一个正测度集EcQ和一个函数h∈L1(Q)满足(i)当│s│→+∞，G(x，s)-1/2λ1s2→-∞，对几乎所有的x∈E成立，(ii)G(x，s)-1/2λ1s2≤h(x)，对一切的s∈R和几乎所有的x∈Ω都成立，其中G(x，s)=fs0g(x,t)dt，则定理1的结论也成立。 接下来本文讨论如下奇异椭圆方程｛-△u+k(x)u-γ=λup， x∈Ω，u＞0， x∈Ω， (2)u=0， x∈()Ω，这里，Q c RN(N≥1)是一个有界区域并且具有C2+α边界()Ω，γ、λ和p是三个非负常数，k是定义在Ω上的非负函数，其中0＜α＜1。本文利用上下解原理得到问题(2)正解的存在性。 定理3设函数k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且k(x)≥0且k≠0。如果0＜γ＜1、0＜p＜1，那么一定存在一个常数λ∈(0，∞)，使得当λ＞λ时，问题(2)至少有一个解uλ∈C2+α(Ω)∩C(Ω)且u-γλ∈L1(Ω)，此时问题(2)有一个极大解uλ且uλ关于λ是递增的；当λ<(λ)时，问题(2)在C2(Ω)∩C(Ω)中没有解。 定理4设函数k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且Ω中k(x)＞0。如果γ≥1，那么对于一切的λ＞0和p＞0，问题(2)在C2(Ω)∩C(Ω)中没有解存在。 最后，本文利用上下解原理考虑了比问题(2)更一般的椭圆问题｛-△u+k(x)f(u)=λup， x∈Ω，u＞0， x∈Ω， (3)u=0， x∈()Ω，其中，Ω c RN(N≥1)是有界区域并且具有C2+α边界()Ω，λ和p是两个非负常数，k是定义在Ω上的非负函数，f是定义在(0，+∞)上的非负的、非增的函数。 主要结果如下： 定理5设函数k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且k(x)≥0且k≠0，0＜p＜1。假设函数f∈Cαloc(0，∞)且满足(f1)∫10f(s)ds＜+∞，(f2)∫10(∫t0f(s)ds)-1/2dt＜+∞，则存在一个常数λ∈(0，∞)，使得当λ＞(λ)时，问题(3)至少有一个解uλ∈C2+α(Ω)∩C(Ω)且f(uλ)∈L1(Ω)，此时问题(3)有一个极大解vλ且vλ关于λ是递增的；当λ＜(λ)时，问题(3)在C2(Ω)∩C(Ω)中没有解。 定理6设函数k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且在Ω中k(x)≥0.假设函数f∈Cαloc(0，∞)且满足(f3)∫10f(s)ds=+∞，则对一切的λ＞0和p＞0，问题(3)在C2(Ω)∩C(Ω)中没有解存在。