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20世纪70年代,Petty对凸体引入了极小表面积,通过极小表面积将经典的等周不等式加强成仿射等周不等式,初步建立起了仿射等周不等式与测度迷向性的联系.Petty的这项工作激发出了后来Ball关于John椭球体积比问题和极小表面积的反向等周问题、Lutwak-Yang-Zhang关于Lp John椭球和Lp极小表面积的反向仿射等周问题、Zou-Xiong关于Orlicz John椭球及相关仿射极值问题等一系列重要的研究工作.本文的研究内容隶属于Brunn-Minkowski理论,主要研究凸体的极小表面积位置的存在性问题.凸体的各阶表面积S1,...,Sn-1,是刚体不变的,但不是仿射不变的.为了提炼出仿射不变量,本文研究如下仿射几何量系统Aj(K)=inf{Sj(gK):g∈ SL(n)}j=1,...,n-1.对j=n-1这一情形,Petty已经证明了上述仿射极值问题的解的唯一存在性,并建立了解的示性定理.仿射几何量An-1,(K)正是Petty的极小表面积.2000年,著名的数学家Milman与Giannopoulos倡导研究上述仿射几何量系统,并对j
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