本文主要运用分析的方法给出半直线上一维扩散混合边界(Neumann边界和Dirichlet边界)的第一特征值估计(包括爆炸和非爆炸两种情形),运用逼近程序结合变分公式得到了特征值的非零判别准则和显式估计.由于扩散过程的不变测度是对称的,自然地,我们首先在L2空间中对其研究,利用变分公式得到了逼近定理.其次,利用对偶我们建立了原点为吸收边界,无穷远为反射边界的过程的第一特征值与我们研究的原点为反射边界,无穷远为吸收边界的过程的特征值的关系.最后,我们将结果推广到了更为一般的空间中.具体地讲,本文共分为四个部分:　　 第一部分,介绍了我们的研究背景,并陈述了主要研究结果.　　 第二部分,我们主要讨论L2空间中非常返情形第一特征值即衰减速度的估计(包括了爆炸及非爆炸情形),利用分析的方法得到了对偶变分公式及显式判准和逼近定理.特别地,证明了对应于第一特征值的特征函数单调趋于零的性质,并将上下界的比值降低为2.此外,利用对偶,从相似变换的角度不仅说明了研究该边界问题有其自身的意义,而且说明了可以将原点为吸收边界,无穷远为吸收边界的过程的特征值估计转化为我们研究的原点为反射边界,无穷远为吸收边界的过程的问题,在一定程度上简化了原点为吸收边界,无穷远为吸收边界的过程的特征值估计所需的计算,并保留了其精确度.　　 第三部分,我们将L2中的部分结果推广到Lp空间中,得到了非线性算子的特征值估计的上下界估计的变分公式.　　 第四部分,我们将结果推广到更一般的空间(B,B(0,D),μ)中.所得结果表明,即使在这样的一般空间中,L2空间中的结果仍然可以得到一大部分推广,如下界估计的变分公式,逼近定理和上界估计等.