【摘 要】
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设G为有限群,M和N均为G的正规子群,本文用CAut G（G／M,N）表示G的既中心化G／M又中心化N的全部自同构所构成的群.在自同构群的研究中,一个基本而重要的问题是确定CAut G（G／M,N）的结构.2007年Attar证明了：如果G为有限非交换p-群,则当且仅当G的幂零类为2且Z（G）是循环群.2008年Yadav将其推广为：如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群,则当且仅当G的幂
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设G为有限群,M和N均为G的正规子群,本文用CAut G（G／M,N）表示G的既中心化G／M又中心化N的全部自同构所构成的群.在自同构群的研究中,一个基本而重要的问题是确定CAut G（G／M,N）的结构.2007年Attar证明了：如果G为有限非交换p-群,则当且仅当G的幂零类为2且Z（G）是循环群.2008年Yadav将其推广为：如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群,则当且仅当G的幂零类为2,G’≤M且M是循环群.注意到G的内自同构群Inn G同构于商群G／Z（G）,故上述两个定理本质上给出了当M或N为特殊子群时CAut G（G／M,N）的结构描述.本文在更为一般的条件下确定了CAut G（G／M,N）的结构,所得结果推广了Attar和Yadav定理.本文中的主要结论如下：定理1.设G为任意有限群,M和N均为G的正规子群且M≤Z（N）,则其中Der（G／N,M）表示从G／N到M的所有导子构成的交换群.从定理1出发可推导出以下有用的结论.推论1.设G为任意有限群,M,N均为G的正规子群且M≤N∩Z（G）,则应用推论1证明了本文的第二个主要结果.定理2.设G为有限p-群,M,N均为G的正规子群且M≤N∩Z（G）,则的充要条件是G’≤N,M为循环群,且exp（G／Ⅳ）≤exp M.使用定理2即可推出Attar和Yadav定理.推论2.如果G为有限非交换p-群,则当且仅当G的幂零类为2且Z（G）是循环群.推论3.如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群,则当且仅当G的幂零类为2, G’≤M且M是循环群.定理3.如果G是有限非交换p-群且G’≤M≤Z（G）,则当且仅当Hom（G/Z（G）, M）（?）Z2（G）IZ1（G）.
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