本文主要研究了图的割空间理论及相关性质，这是图论研究领域中的一个重要方面。但是与相对较为成熟的圈空间理论相比，对割空间的研究则显得较少。作为相互正交的两个空间，它们之间有着密切的联系。我们首先证明了最小割基在结构上的唯一性。然后，通过研究割的性质，得到拓扑图论中的一个重要性质，即不可分离圈不能由若干可分离圈生成。最后，给出了一个找最短割的多项式算法，并以此部分解决了Thomassen[18]关于是否存在多项式算法寻找短圈的问题。另外，我们还研究了2-边着色的完全图中单色三角形的最小数目，并确定了该最小值。具体内容如下： 1．通过建立一个基变换的Hall型定理，得到一个判定最小割基的充分必要条件，以此证明了最短割基在结构上的唯一性(即：任两个最短割基之间，一定存在一个1-1映射使得所对应的割的长度相等)。 2．通过定义嵌入图的几何对偶图及其相应的嵌入系统，得到几何对偶图中的可分离圈就对应于原图中的割；反之，若几何对偶图中的割在原图中对应于一个圈，那么该圈一定可分离。由此结论，证明了不可分离圈不能由若干可分离圈生成。 3．通过改进网络最大流的Ford-Fulkerson算法，得到最短割的多项式算法。并以此在射影平面上解决了Thomassen[18]关于是否存在多项式算法寻找短圈的问题。 4．利用邻接矩阵方法，确定了2-边着色的完全图K<,n>中单色三角形最少数目的精确值，并给出了该下界的一个特例。