时滞现象普遍存在于各种工程系统中，是影响系统稳定性和性能的主要因素之一。因此，对时滞系统的稳定性研究具有重要理论意义和广泛的应用前景。目前，时滞相关稳定性分析问题得到许多学者关注。其核心和难点问题是如何降低判据保守性和算法复杂性。本论文针对这两个核心问题，研究了若干线性和非线性系统的时滞相关稳定性分析方法及其在故障检测问题上的应用。主要创新性研究工作如下： 1、针对变时滞线性系统，通过增广Lyapunov泛函法得到比前人方法具有更小保守性的时滞相关渐近稳定准则。分别构造了两种新型的增广Lyapunov泛函：第一种是包含自由权矩阵的增广型Lyapunov泛函，它可以避免广义模型变换法在处理交叉项过程中使用Park不等式或Moon不等式，而且在微分运算过程中采用新型的放缩技巧，从而降低了判据的保守性。第二种是包含交叉项及时滞区间信息的增广型Lyapunov泛函，该泛函不包含任何通过牛顿-莱布尼茨公式引入的自由权矩阵，而是通过引入与交叉项相关的松弛矩阵使获得的LMI得到更优化的解，从而也能有效降低结果的保守性。增广Lyapunov泛函法也可以推广到具有线性分式型不确定时滞系统中，得到相比前人方法具有更小保守性的时滞相关鲁棒稳定性准则。 2、针对具有区间变时滞、区间快变时滞、常时滞三种不同时滞类型的线性系统，分别给出了不包含任何自由权矩阵的简化型时滞相关稳定性准则。这些准则不仅等价于目前存在的一些通过自由权矩阵法获得的稳定性条件，而且包含的变量大大减少，算法更简单，更易于控制综合问题的解决。进一步，针对一些基于神经网络模型的非线性时滞系统，提出了相比自由权矩阵法不失保守性且减少运算变量的简化稳定性判据。 3、针对一类具有非单调、非可微型的非线性激励函数的变时滞神经网络模型，通过构造包含松弛矩阵和激励函数界信息的、更具有一般性的增广型Lyapunov泛函，得到了比前人结果具有更小保守性的时滞相关渐近稳定性准则。并在此基础上，进一步研究了具有混合时滞的神经网络的指数稳定及收敛率问题。 4、将时滞相关稳定性分析方法应用到时滞随机分布系统故障检测问题。通过构造包含松弛矩阵和可调参数的增广型Lyapunov泛函，提出了基于输出概率密度信息的时滞相关型故障检测观测器设计方法，同时通过优化故障评估系统中阈值，得到了具有更高检测灵敏性的故障检测方法。