近三十年来,谱方法作为一种求解微分方程的重要数值方法得到了蓬勃发展,并被广泛应用于科学与工程计算.谱方法的主要优点是高精度.常用的谱方法适用于周期问题和有界直角区域上的各种问题.然而,在许多实际问题中,我们需要计算无界区域问题的高精度算法.　　 本文研究三类新的广义Laguerre正交逼近、拟正交逼近及相关插值理论,建立了系统的误差估计,许多结果是最优的.基于这些理论结果,我们提出了高阶微分方程混合非齐次边值问题的Petrov-Galerkin谱方法,以及有关的区域分解谱方法.　　 首先,我们提出了一类新的广义Laguerre函数L(α,β)l(x),其中α为任意实数,β>0.它们关于权函数xαe-βx相互正交.我们建立了以这些函数为基底的正交逼近、拟正交逼近及广义Laguerre-Gauss—Radau插值逼近理论.这些结果诱导出相应的Petrov-Galerkin谱方法和配置法.　　 其次,我们引入了另一类广义Laguerre函数(L)(α,β)(x),其中α为任意实数.它们关于权函数xα相互正交.我们建立了以此类函数系为基底的正交逼近、拟正交逼近和广义Laguerre-Gauss-Radau插值理论.它们构成了半直线上高阶微分方程的Petrov—Galerkin区域分解谱方法的理论基础,并有助于某些外部问题的数值模拟.　　 最后,为了精确地拟合真解在无穷远处的渐近行为,我们研究了第三类广义Laguerre函数(L)(α,β,γ,δ)(x),其中α,γ为任意实数,β,δ为正实数.它们关于权函数xα(δ+x)-γ相互正交.我们建立了以此类函数系为基底的正交逼近、拟正交逼近和广义Laguerre-Gauss-Radau插值理论,并在此基础上提供了精确拟合无穷远处真解渐近行为的新谱方法.　　 我们进行了大量数值试验.数值结果证实了上述三类新谱方法的高精度,并与理论分析相吻合.