【摘 要】
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色散-耗散方程、高阶KdV方程以及反应扩散方程等都是具有重要意义的几类非线性微分方程.本文运用动力系统的方法,特别是几何奇异摄动理论,结合Schauder不动点理论,上下解方法
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色散-耗散方程、高阶KdV方程以及反应扩散方程等都是具有重要意义的几类非线性微分方程.本文运用动力系统的方法,特别是几何奇异摄动理论,结合Schauder不动点理论,上下解方法以及隐函数定理和Fredholm理论等,研究带有不同类型时滞内核的色散-耗散方程、五阶KdV方程和带有Allee效应的反应扩散方程的行波解和孤波解的存在性.全文包括如下四章:第一章简要介绍研究的现状,背景,意义以及几类经典的微分方程,并介绍本文的主要工作.第二章介绍一些基本概念以及预备知识.第三章研究一类带有非局部时滞内核的广义非线性色散-耗散方程,它描述了波在广义非线性色散、耗散和二次扩散介质中的传播.通过运用几何奇异摄动理论,Fredholm理论和线性链技巧,得到一个局部不变的流形,在此流形上寻找异宿轨道,进而,得到方程行波解的存在性.第四章研究五阶非线性KdV方程的孤波解,其在量子力学、非线性光学中有广泛的应用,描述了在重力下的浅水波中和一维的非线性晶格中长波的运动.根据几何奇异摄动理论,得到具有局部时滞内核和非局部时滞内核的情况下,五阶KdV方程孤波解的存在性.第五章研究带有Allee效应的捕食-被捕食的反应扩散系统,通过应用Schauder不动点定理和上下解方法,首先证明了方程不带有时滞的情况下行波解的存在性.其次,利用几何奇异摄动理论和不变流形理论,研究具有非局部时滞内核的反应扩散系统.再根据行波解与轨道之间的关系,借助变量代换,将反应扩散系统转化为常微分系统,通过构建局部不变流形,结合Fredholm定理和线性链技巧证明了该系统行波解的存在性.
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