【摘 要】
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算子理论是泛函分析重要的研究领域之一,它对于微分方程,调和分析及理论物理等学科都有着深刻应用.其中谱结构,谱保持问题以及正交投影对一直是众多学者研究的热点问题.对于谱结构,Weyl型定理能很好的反映算子谱的分布特点,因此对Weyl型定理及其变形推广的研究是许多学者一直关注的问题.同时,谱结构和部分谱子集作为代数的同构不变量研究也引起了学者们的广泛关注,即谱保持问题.另一方面,基于Halmos正交投
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算子理论是泛函分析重要的研究领域之一,它对于微分方程,调和分析及理论物理等学科都有着深刻应用.其中谱结构,谱保持问题以及正交投影对一直是众多学者研究的热点问题.对于谱结构,Weyl型定理能很好的反映算子谱的分布特点,因此对Weyl型定理及其变形推广的研究是许多学者一直关注的问题.同时,谱结构和部分谱子集作为代数的同构不变量研究也引起了学者们的广泛关注,即谱保持问题.另一方面,基于Halmos正交投影对分解,许多学者运用谱理论和Fredholm理论来研究正交投影对,研究与正交投影对有关的范数,谱及正交投影对的差积等.这些结果对算子谱理论有着非常重要的影响,同时仍有一些问题引起学者们的关注.本文对Weyl型定理及其变形在紧摄动下的稳定性问题,保持谱子集的可加映射以及具有固定差的正交投影对问题进行了更进一步的研究.具体研究内容有三方面.在谱结构方面,根据算子semi-Fredholm域的特点讨论了算子Weyl定理在紧摄动下有稳定性的特征,其次探究了算子T在紧摄动下有Weyl定理稳定性和T2在紧摄动下有Weyl定理稳定性的关系,之后研究了 Weyl定理的一种变形（ω）性质在紧摄动下有稳定性的等价条件,最后根据2×2上三角算子矩阵的特点,利用对角线上元素的性质来刻画它的单值延拓性质.对于谱保持问题中,首先由正规特征值定义了 m-正规特征值,然后讨论m-正规特征值和m+1-正规特征值作为B（H）上的一个同构或者反同构不变量,之后刻画了 B（X）上保持算子谱中semi-Fredholm域的可加映射的结构.最后,也讨论了保持拓扑一致降标集和保持单值延拓性质稳定性的线性映射.同时,在正交投影对方面,研究了能表示成两个正交投影差的自伴算子.首先讨论自伴算子A是纯的情形,先给出自伴算子A标准型的定义,探讨一个自伴算子A表示成两个正交投影差的充要条件,然后在此基础上,给出满足差为A的所有的正交投影对的一般表示,之后再把得到的结论推广到一般自伴算子的情形,最后,从代数角度考虑,探讨了差为A的所有正交投影生成的von Neumann代数及其换位的形式与结构.
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