阿尔茨海默症(Alzheimer’s disease,AD)是一种中枢神经系统的退行性疾病,这种疾病会给人们生活带来极大的困扰,其发病机制十分复杂。因此通过对神经元周围物质浓度进行建模分析,有助于探究其发病机制。本文首先介绍了阿尔茨海默症的基本模型,该模型为两种物质f和g相互影作用的模型:f促进g的产生,g抑制f的产生。然后分析得到求解该模型的最大的难点为拉普拉斯算子的求解,以及用于求解阿尔茨海默症模型的网格嵌入式算法的基本思想为有限体积法。为了更进一步加深对问题的理解,从简到难对问题进行分析,先以包含拉普拉斯算子的泊松方程为例,使用有限体积法对泊松方程求解,分析得出泊松方程的一维和二维的离散格式,对区域边界采用二次插值的方法求解未知单元,使用MATLAB得到了一维二维数值模拟的结果,计算了不同网格点数的误差的二范数,得到该方法的收敛阶为二阶,在理论上通过泰勒展开的方式研究了通量的截断误差为二阶,对误差进行分析,得到该数值方法是二阶收敛的。然后,使用网格嵌入式算法,针对不同的边界问题,分别在泊松方程一维二维的边界条件下,分析了不同切割单元的处理方法,采用二次插值的方法计算出边界未知单元的估计值,通过数值模拟的方式得到了一维二维数值模拟的结果,计算了不同网格点数的误差的二范数,得到该方法收敛阶为二阶,通过对比不规则物体在所研究区域不同位置的情况,发现其位置与误差的大小无关。在理论上通过泰勒展开的方式研究了通量的截断误差为二阶,对误差进行分析,得到该数值方法是二阶收敛的。最后,使用不动点策略的Crank-Nicolson方法的迭代形式给出阿尔茨海默症的数值求解算法,使用网格嵌入式算法对阿尔茨海默症模型进行数值模拟,分给出了两种扩散系数不同的情况:当扩散系数小时,促进神经元交流的物质f最终会消失,神经元的活性会变得很低,神经元之间的交流停滞,加剧阿尔茨海默症的发展,当扩散系数大时,促进神经元交流的物质f和阻碍物质f产生的物质g会最终会处于一个相对平衡的状态,神经元会保持一定的活性,神经元之间可以交流正常。