本文分为两部分,第一部分通过讨论流体力学中二维Quasi-Geostrophic(QG)方程在活动标量θ下的封闭水平集C来分析方程的解在有限时间的爆炸性.在对上述水平集围成的区域的弧长(曲率)有上界,且同时满足沿着水平集C上涡度的最大值与全局涡度最大值可比的假设下,我们发现,当m(t)被O((ln‖w(·,t)‖∞)α)控制,l(t)被O((ln‖w(·,t)‖∞)β)控制,其中α+β≤1时,‖ω(t)‖∞在[O,T]上是有界的,这样直到T时刻有限时间的爆炸不会发生.其中,ω=▽⊥θ称为“涡度”,l(t)表示流体所在区域的周长,m(t)表示|▽·▽⊥θ/|▽⊥θ||在区域边界上的最大值.　　 第二部分讨论了流体力学中的二维Quasi-Geostrophic(QG)方程及三维不可压缩欧拉方程,我们首先利用二维QG方程与欧拉方程之问的类似性,得到了二维QG方程的一个LAX对表示,并给出了此LAX对相应的一个Darboux变换,我们由此达布变换出发通过类比得到了三维欧拉方程的一个Darboux变换,这样我们更深一层的揭示了这两个方程结构之间的相似性.