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在本文中,我们研究了现代数学中与代数数论相关的三个相对独立的主题,它们分别是:非同余数的构造、环面上多米诺铺砖方法数的2-adic性质、以及二次数域的理想类数与连分数。本文由三章组成,每一个主题构成一章。首先,基于P.Monsky在1993年给出的计算同余椭圆曲线的2-Selmer rank的显式公式[20],注意到该公式将判断某类非同余数的问题转化成IF2上的分块矩阵的计算。在第1章中,我们具体构造了一系列新的非同余数,这些非同余数可以具有任意多个素因子,并且这些素因子可以来自于不同的模8剩余类。与前人的结果相比较(比如,冯克勤及其学生自20世纪90年代以来基于椭圆曲线和代数图论的有关非同余数的工作[10,12-15],以及近年由田野及其合作者在同余数问题和BSD猜想上做出的杰出工作[58]),本文所采用方法更加初等却在一定范围内行之有效。实际上,从2013年开始,Lindsey Reinholz,Blair K.Spearman 和Qiduan Yang 等人就将该方法用于寻找新的非同余数[48-51]。其次,基于P.W.Kasteleyn在1961年有关多米诺铺砖问题的著名结果[28],Henry Cohn于1999年首次研究了2n × 2n平面区域上多米诺铺砖方法数的2-a.dic性质[8]。在第2章中,我们进一步研究了在(4n + 2)×(4n + 2)环面上的多米诺铺砖方法数的2-a.dic性质。具体地,我们发现在这类环面上的多米诺铺砖方法数可以表示成24n+2g(n)2 + 28n+2(2n+1)4nh(n)其中g(n)和h(n)均取奇数值。我们证明了:当n变化时,g(n)和h(n)关于2-adic度量是一致连续的,并且还满足函数方程g(-1-n)= g(n)和h(-1-n = h(n)从而得到了与平面区域情形下类似的结果。最后,假设h(-p)和h(p)分别是二次数域Q(?)和Q(?)的理想类数。基于Don Zagier在20世纪70年代有关Kronecker 极限公式的工作[63,64],Lynn Chua,Benjamin Gunby,Soohyun Park和Allen Yuan等人于2015年证明了当素数p≡3(mod 4)时有同余式h(-p)≡h(p)m(p)(mod 24)成立,其中m(p)由(?)的负正则连分数展开的极小周期决定[5]。在第3章中,我们基于Zagier的上述工作以及陆洪文于80-90年代利用Hirzebruch和给出的类数公式[34,35,37],进一步证明了当素数p ≡ 1(mod 8)时,有同余式h(-p)≡ h(p)m(4p)(mod 23)成立;而当素数p≡5(mod 8)时,同余式h(-p)≡ h(p)m(4p)(mod 22)在一定条件下成立。这里m(4p)由(?)的负正则连分数的极小周期决定。