论文部分内容阅读
1981年Enochs从内射包络和投射复盖定义中抽象地定义了模的包络和复盖.事实上这就是同一时期Auslander在代数表示论中定义的左右极小逼近的概念.因而模的包络、复盖理论在环模理论、同调代数和代数表示论中都有着非常重要的作用.挠理论是相对于Hom函子来定义,余挠理论是相对于Ext函子来定义.余挠理论在解决平坦复盖猜测中起着非常关键的作用.因而模的包络、复盖理论和余挠理论是目前国际上研究的热点课题.在此背景下,本文主要以余挠理论为工具,将包络、复盖理论与同调维数,经典模论,模的凝聚性等结合起来研究,得到了新的刻画环和模的方法.
第二章以Ext函子为工具定义余挠理论(F,C)中模和环的F-维数和C-维数,并深入研究它们的相关性质.F-维数统一了投射维数,平坦维数和FP-投射维数;C-维数统一了内射维数,余挠维数.一方面不仅得到了von Neumann正则环和完全环的新的刻画,而且通过Ext函子给出了平坦维数的新的刻画,另一方面将毛立新,丁南庆2005年在Comm.Algebra上的一些结果推广到一般情形.
第三章主要研究包络、复盖的存在性.首先讨论余挠理论中包络、复盖的关系,使得 Enochs的结果成为推论.进一步地,注意到用交换图定义内射包络、投射复盖与本质子模,多余子模定义的内射包络,投射复盖是一致的,因此本章引入F-本质子模,F-多余子模的概念并研究它们与一般的包络、复盖的关系.F-本质子模推广了本质子模,纯本质子模的概念;F-多余子模推广了多余子模,弱多余子模的概念.本章后半部分主要讨论右R-模类 F 什么条件下有(F,F<⊥>)是余挠理论,并研究这种F-复盖存在性.从而使得2000年Trlifaj的结果(L-平坦复盖是存在的)成为推论,但证明方法不同.
本文第四章前半部分假设每一右R-模有C-包络,且(<⊥>C,C)是余挠理论,于是可以构造新的模类H并研究它的性质.当C是内射右R-模类时,H就是Birkenmeier定义的核内射,因此将Birkenmeier,方俭的部分结果推广到一般情况.而后半部分是研究其对偶情形.
对于环与模的凝聚性的研究一直是环模范畴中很活跃的课题.因而在第五章引入(m,n)-凝聚模与(m,n)-M-平坦模的概念,其中 M 是右R-模.本章从预包络的存在性(单性,满性)来研究(m,n)-凝聚模,从而使得张小向等人2005年在Algebra Colloq.中定义的(m,n)-凝聚环(凝聚环,伪凝聚环的推广)的部分结果作为本章的推论.