本文基于经典李群理论和计算机符号计算，研究了群不变解的最优系统理论和算法，将这一算法部分程序化，在符号计算系统Maple上实现；成功地将经典李群方法与推广的直接方法相结合，研究一些重要的非线性方程的精确求解问题和所得计算机模拟图形分析．例如，研究了以Navier-Stocks方程为代表的大气动力学方程，发现了能反映重要自然现象的精确解如双眼壁台风解．　　 第一章介绍了微分方程的对称理论、群不变解的最优系统、符号计算以及海洋大气动力学系统模型的理论背景和发展现状，并简单介绍了国内外学者在这些领域所取得的成果.　　 第二章，利用群不变解的最优系统理论和算法，并结合推广的直接方法，研究了(1＋1)维双曲Monge-Ampére方程、(3＋1)维Zakznetsov-Kuznetsov方程、(2＋1)维色散长波方程以及广义Nizhnik-Novikov-Veselov方程，给出了求解李群最优系统算法过程中重要一步的计算机算法程序：Killing型的计算机算法，分别研究了一维、二维及三维最优系统，并进行一维、二维及三维子代数的约化求解；利用推广的直接方法得到解与解之间的关系，从而进一步得到原方程的新解；对于所得到的一些新的精确解，给出了图形分析.同时，还给出了(2＋1)维色散长波方程的守恒律．　　 第三章研究了海洋大气动力学的三个模型：Navier-Stokes方程、两层大气模型方程和带有外强迫加热函数的两层大气模型，其中后两种模型是根据实际海洋大气动力学原理首次提出的．利用群不变解的最优理论和算法，对这三个方程的一维或二维子代数进行分类进而约化求解，并对所得到的解进行了计算机图形模拟，成功地得出了台风解，且首次发现了双眼壁结构的台风解图形.　　 第四章，将经典李群方法应用到四-场格Blaszak-Marciniak离散方程，得到了该方程的对称约化，给出了不但包含单孤子结构而且具有奇异性的精确解.对于mKdV方程和修正的Zakharovi-Kuznetsov方程的初值问题，首先利用同伦摄动方法得到了方程的解析近似解，选取初始函数的不同形式，获得了方程的单孤子、双孤子以及有理式解．然后应用李群方法求解两个初值问题，并与前面利用同伦摄动方法得到的解进行比较分析.　　 最后一章对全文的工作进行了总结和讨论，概括了工作的优点及不足之处，并对下一步的工作进行了展望.