设M∈Mn(Z)是扩张整数矩阵，有限数字集D∈Zn.定义Rn的压缩映射族{φd(x)=M-1(x+d）}d∈D，则存在唯一非空紧集T=T(M,D)满足T=∪d∈Dφd(T)。此时，T称为迭代函数系(IFS){φd}d∈D的不变集（或吸引子)。　　对于给定的迭代函数系{φd}d∈D，可以定义一个概率测度μ:=μM，D满足μ=1/|D|Σd∈Dμoφ-1d。这是一个具有相等权重的自仿等式，μM,D的支撑在该迭代函数系的吸引子上，通常μM,D也称为自仿测度。　　本文分两部分，第一部分主要研究一类平面自仿集的连通性问题，第二部分主要研究一类高维自仿测度的谱性问题，全文由三章组成。　　在第一章，我们对自仿集的连通性以及自仿测度的谱性问题的背景与研究现状进行了介绍，并列出了本文的主要结论.　　在第二章，我们考虑了以下两类平面自仿集T(M，D)的连通性问题:　　(1)矩阵M的特征多项式为f(x)=x2+bx+c，数字集D={0,1，…，m}v,得到了T(M，D)连通与整数m，b，c关系的充要条件;　　(2)矩阵M的特征多项式为f(x)=x2-(p+q)x+ pq，数字集D={0,1，…，|pq|-2，|pq|-1+s}v，得到了T(M，D)连通与整数s，p，q关系的充要条件。　　在第三章，我们考虑高维情况下由连续共线数字集D={0，1，…，q-1}v与扩张整数矩阵M生成的自仿测度μM,D的谱性问题.得到了:　　(1)当{v,Mv，…，Mn-1v}线性无关时，若(q，det(M))≠1，则μM，D有无限个正交指数函数;若q| det(M)，则μM，D为谱测度。　　(2)当{v，Mv，…，Mn-1v}线性相关时，通过降维我们可以把它转化为(1)情况来考虑，得到了μM,D具有无限正交指数函数或为谱测度的充分条件。