【摘 要】
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作为一门重要的交叉学科，数学物理反问题的研究已经遍及医疗，地质工程，信号探测等各个应用领域.绝大多数的反问题都是不适定的，为了获得稳定解必须采用一定的正则化策略.本文主要
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作为一门重要的交叉学科，数学物理反问题的研究已经遍及医疗，地质工程，信号探测等各个应用领域.绝大多数的反问题都是不适定的，为了获得稳定解必须采用一定的正则化策略.本文主要讨论了近年来反问题研究中出现并发展的一些新型正则化迭代算法:Hilbert空间上的多尺度理论及Banach空间上的迭代理论. 本文首先讨论多尺度半离散化Tikhonov正则化迭代算法，该算法将散乱数据拟合中的多尺度算法与反问题中的半离散化Tikhonov正则化算法相结合，用于反演具有中度不适定性的线性反问题方程的解.通过讨论精确及非精确定解条件下两种不同的情况，我们给出了算法的收敛性分析以及Tikhonov正则化参数的先验和后验选取准则. 本文的第二部分是对第一部分的一个扩展，考虑将机器学习中的支撑向量回归方法(SVR)与多尺度算法相结合并应用于反演具有中度不适定性的线性反问题的解，称为多尺度SVA正则化算法.与第一部分的内容相比，多尺度SVA正则化算法具有自己独特的优势.首先，通过引入新的截断参数，用Vapnik函数代替Tikhonov极小化泛函中的l2残差项，可以避免一些由小噪声引起的过度反演从而失去对函数特征的整体把握.其次，当定解条件带有噪声时，我们不需要再进行内迭代后验选取正则化参数，从而提高了算法的效率. 本文最后一个部分考虑Banach空间中的Tikhonov正则化迭代算法，通过引入一个一般的，合适的，下半弱连续的一致凸函数诱导的Bregman距离作为Tikhonov正则化方法的惩罚项，迭代产生最终的反演解.当方程的解具有一些特殊的性质，比如稀疏性或者分片光滑性，利用L1以及全变差函数等非光滑的惩罚项，我们也可以将其性质有效地反演出来.在理论分析中，我们讨论了精确定解条件下的算法收敛性以及非精确定解条件下的算法稳定性，并且证明了迭代格式的强收敛性.
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