自然科学、工程技术以及社会科学的许多领域中(如物理学、生态学、经济学等)都提出了大量的非线性问题.例如：由N部分不同密度组成的均匀截面的悬链线的振动可以转化为多点边值问题：弹性稳定性理论的许多问题也可转化为多点边值问题来处理.在解决这些非线性问题的过程中.逐渐形成了现代分析数学中一个非常重要的分支-非线性泛函分析.它主要包括半序方法、拓扑度方法和变分方法等内容.为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其在处理应用学科中提出的各种非线性方程和偏微分方程问题中发挥着不可替代的作用.1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念.1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场.后来，E.Rothe，M.A.Krasnoselskii，P.H.Rabinowitz，H.Amann，K.Deimling等对拓扑度理论.锥理论及其应用进行了深人的研究.国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文塬教授、孙经先教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就，其中著名的郭氏定理、Guo-Krasnoselskii不动点定理、下降流不变集理论享誉世界，应用广泛，为人们所津津乐道.　　 对微分方程来说，正解往往是人们注重研究的符合现实意义的一类解，人们常将研究微分方程正解的存在性问题转化为研究积分算子在锥上的不动点的存在性问题.研究积分算子不动点的存在性常用的工具是非线性泛函分析的拓扑度理论和不动点指数理论，其中最常用的定理是：Schauder不动点定理，Krasnoselskii不动点定理，Leggett-Williams不动点定理和它的推广形式--泛函不动点定理.　　 尽管很多学者应用上述定理对多点边值问题正解的存在性进行研究，并取得了丰富的成果.但由于使用这些常见的不动点定理需要假设非线性项是连续的，且Green函数需满足特定的条件要求，使得这些常用的定理适用范围具有一定的局限性.因此，仍然存在许多未解决的具有挑战性的问题.　　 本文共有六章.第一章到第五章，主要利用上下解方法、锥上的不动点指数理论以及锥拉伸与压缩不动点定理分别讨论了一类n阶常微分方程组边值问题、一类Hammerstein积分方程组、广义Lidstone方程组边值问题，半无穷区间上奇异Sturm-Liouville边值问题、一类奇异分数阶边值阿题以及一类四阶p-Laplacian边值问题正解的存在性、多解性、唯一性.　　 在第一章中.我们研究如下一类Hammerstein积分方程组正解的存在性其中k∈ C([0.1]×[0，1].R+).f.g，h∈C([0.1]×R+×R+×R+.R+).我们用非负凹函数刻画非线性项f.g，h的耦合行为.并用Jensen不等式做先验估计.在与相应的线性算子第一特征值有关的条件下获得了正解的存在性结果.需指出的是这里的非线性项f，g，h可以有不同的增长方式，用凹函数研究微分方程组的思想最初见文[1]，文[2，15]推广了文[1]中的结果.本文所得结果进一步推广了文[1，2，15]中相应的结果，作为运用，我们将所得结果应用于一类高阶常微分方程组边值问题，　　 在第二章中，我们研究如下一类广义Lidstone方程组边值问题正解的存在性这里m≥1，n≥1，f，g∈C([0，1]×Rm+n+，R+)(R+=[0，+∞))，a，b，c，d∈R+且ac+ad+bc>0.本章我们仍沿用第一章的想法，用非负连续凹函数刻画非线性项的耦合行为.与第一章不同的是，这里讨论的方程组可以有不同的阶数，并且非线性项含有偶数阶导数.为了克服非线性项含有导数的困难，我们采用降阶的方法将该问题转化为与之等价的积分-积分方程组，通过讨论这个辅助的方程组而获得原问题正解的存在性.　　 在第三章中，我们研究如下一类半无穷区间上奇异Sturm-Liouville边值问题正解的存在性其中f∈C(R+×R+，R+)；h∈L(0，∞)允许在t=0奇异；p∈C(R+)∩C1(0，∞)且()以及()我们仍在与相应的线性算子第一特征值有关的条件下获得了正解的存在性结果.并且非线性项既可以超线性增长也可以次线性增长.所得结果本质推广了文[38-42]的工作.最后，我们提供一些例子来说明所得结果的有效性.　　 在第四章中.我们研究如下一类奇异分数阶微分方程边值问题正解的存在性这里a∈(3.4]是一实数.()是标准的Riemann-Liouville导数.f∈C([0.1]×R+.R+).并且h∈C(0.1)∩ L(0.1)非负以及允许在t=0和(或)t=1奇异.本章我们利用线性算子对应的第一特征值来考察该问题正解的存在性.注意到.本章中的非线性项f既可以超线性增长又可以次线性增长.而[43]中的非线性项只考虑次线性增长的情况.本章当中的第一个结果就是考虑非线性项超线性增长的情况.从而补充了[43]的工作.随后.我们根据所得的第一个结果和[43]的结果又得到了两个多正解的结果，并且所得的结果本质地推广和改进了[44]的相关结果.　　 在第五章中，我们研究如下一类p-Laplacian边值问题正解的存在性其中p>0以及f∈C([0，1]×R+，R+).该问题的想法来源于[11，20].我们注意到，该问题是p=1时对应的Lidstone问题的一个扰动，沟通这两个问题的桥梁是Jensen不等式.这种方法在近期的文献中没有见到.　　 在第六章中，我们首先运用Leggett-Williams不动点定理研究如下奇异的广义Lidstone方程组边值问题三个正解的存在性这里m，n≥1，a(t)，b(t)∈C((0，1)，R+)，a(t)，b(t)允许在t=0和(或)t=1奇异；fi∈C([0，1]×Rm+n+，R+)；ai，bi，ci，di∈R+且ρi：= aici+aidi+bici>0，i=1，2.我们注意到这里所讨论的方程组可以有不同的阶数，并且奇异项a(t)和b(t)也可以不同.所得结果推广了文[45]的工作.　　 其次，我们利用Avery-Peterson不动点定理研究以下一类二阶奇异的Sturm-Liouville积分边值问题三个正解的存在性其中a.b.c.d≥0且ac+ad+bc>0：h∈C((0.1).[0.+∞))允许在t=0和(或)t=1奇异以及().η(t)在[0.1]上为增函数并且在t∈[0.1)上右连续.在t=1左连续.以及()和()分别是u关于ζ和η的Riemann-Stieltjes积分.必须指出的是.多点边值问题和积分边值问题是Riemann-Stieltjes积分边值问题的特例.这也说明了许多学者特别地关注Riemann-Stieltjes积分边值问题.本章最后我们提供两个例子来说明所得结果的有效性.