【摘 要】
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本文主要研究具有临界指数的椭圆方程解的存在性与动力学性质。首先，我们研究具有临界指数的非线性标量域方程基态解的存在性；其次，我们讨论具有临界指数的非线性薛定谔方程在有界区域中的奇异扰动问题；然后，在全空间RN中，我们讨论具有临界指数的非线性薛定谔方程驻波解的存在与集中；最后，对具有临界频率和指数的非线性薛定谔方程，我们研究其解的存在与集中现象。 第一部分，我们研究临界增长的非线性标量域方程
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本文主要研究具有临界指数的椭圆方程解的存在性与动力学性质。首先，我们研究具有临界指数的非线性标量域方程基态解的存在性；其次，我们讨论具有临界指数的非线性薛定谔方程在有界区域中的奇异扰动问题；然后，在全空间RN中，我们讨论具有临界指数的非线性薛定谔方程驻波解的存在与集中；最后，对具有临界频率和指数的非线性薛定谔方程，我们研究其解的存在与集中现象。 第一部分，我们研究临界增长的非线性标量域方程基态解的存在性。1983年，H. Berestycki与P. L. Lions获得了次临界情形基态解的存在性，但长时间以来，临界情形一直未得到解决。我们利用约束变分方法和Brezis-Nirenberg技巧，将Berestycki-Lions定理推广到临界情形。同时，我们还给出基态解的山路特征及其在无穷远处的指数衰减估计。 第二部分，我们讨论有界区域中具有临界指数的非线性椭圆方程奇异扰动问题。2010年，J. Byeon在Berestycki-Lions条件下，获到了非线性椭圆方程单峰解的存在性与集中性，但他仅仅考虑次临界情形。利用局部化的形变方法，我们将其推广到临界情形。同时，通过椭圆估计获得了解的指数衰减估计。 第三部分，我们研究RN中具有临界指数的非线性Schro¨dinger方程驻波解的存在性。2007年，J. Byeon与L. Jeanjean在Berestycki-Lions条件下，获到了次临界非线性薛定谔方程驻波解的存在与集中。利用罚函数方法，我们解决了其在临界情形下的问题。同时，通过椭圆估计获得了解的指数衰减估计。 第四部分，我们研究具有临界指数的Ambrosetti公开问题。利用罚函数方法，在势函数可能具有紧支集、在无穷远处衰减速度大于|x|2等情形下，获得了具有临界指数的非线性Schro¨dinger方程解的存在与集中。
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