【摘 要】
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数论函数是指定义在正整数集合上的实值或复值函数.数论函数的一个重要的研究课题就是它的均值性质.众所周知,很多重要的数论函数的取值是不规则的.所以,我们往往研究它们的
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数论函数是指定义在正整数集合上的实值或复值函数.数论函数的一个重要的研究课题就是它的均值性质.众所周知,很多重要的数论函数的取值是不规则的.所以,我们往往研究它们的均值性质以掌握这些数论函数的规律.
著名的Fibonacci数列由于其规律简单、内涵丰富,一直都被人们关注.Fibonacci数列在现代物理、准晶体结构等领域都有直接的应用.美国数学会从1963年起出版了《斐波纳契数列》季刊,专门刊载这方面的研究成果.
美籍罗马尼亚著名的数论专家Florentin Smarandache在《Only Problems,NotSolutions!》一书中提出了105个尚未解决的数论问题.很多学者都在研究这些问题,并不断地获得一些非常重要的研究成果.
本文主要研究了Fibonacci数列以及Florentin Smarandache教授提出的两个数论函数,得到了一些均值渐近公式.具体来讲,本文的主要成果包括以下三个方面:
1.讨论了关于二进制数的数字之和函数,得到了此函数的m次均值性质.然后讨论了关于p进制数的数字之和函数,得到了此函数的m次均值性质；
2.采用猜想、归纳与递归的方法研究了一个关于Fibonacci数列的计数函数,给出了此函数的r次均值渐近公式；
3.使用初等方法与解析方法研究了平方根序列函数a2(n)与欧拉函数φ(n)的混合均值,得到了两个均值渐近公式.
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