对非线性期望空间中极限理论的研究,一方面源于近些年人们对数量经济、金融风险度量和量子力学等领域中不确定性和模糊问题的思考,另一方面也是经典线性概率论与数理统计中基础理论研究发展的一个趋势。自从20世纪现代意义的金融衍生品诞生以来,风险便再也没有离开过金融市场。无论是盛极一时的长期资本管理公司(Long Term Capital Management)的昙花一现,还是拥有着百年历史的雷曼兄弟(Lehman Brothers)的轰然倒塌,都与充满着不确定性的金融风险息息相关。早在1921年,Knight (1921)就对金融市场中传统意义上的风险进行了区分,一类来源于可以计量的不确定性,即市场参与者对刻画金融产品的概率分布有广泛的共识,这种不确定性称之为Knight意义下的风险(Knightian Risk);另一类来源于不可计量的不确定性,即风险管理者们不能把握金融产品确切的概率分布,或者市场参与者们对金融产品持有一族不同概率测度P,这种不确定性称为Knight不确定性(Knightian Uncertainty)或者模糊(Ambiguity)。对于模糊的研究,一直是经济和金融领域中的一个重要问题,比如Ellsberg (1961)中著名的Ellsberg悖论,诺贝尔经济学奖获得者的工作Hansen, Sargent和Tallarini (1999), Hansen和Sargent (2001)中借助模糊对宏观经济的讨论,以及在资本市场价格行为领域里Epstein和Wang (1994), Chen和Epstein (2002)对资产定价理论的研究。研究中人们发现,经典概率论中对于概率和期望的线性假设已经难以刻画风险行为的次线性本质。针对这些问题,Peng(1997)在倒向随机微分方程(BSDE)的基础上提出了一项全新的非线性期望-g-期望,对金融中很多不确定性问题做出了合理的解释。另一方面Artzner, Delbaen, Eber和Heath(1999)从金融数学的角度引入了一致风险度量(Coherent Risk Measure)的概念,即赋予在未定权益X上的一个次线性泛函ρ(X),其本质就是次线性数学期望。实际上,研究风险的次线性行为就是研究次线性期望,而在不确定性环境下,次线性期望也给人们评估金融风险提供了一个稳健的方法。然而在以往借助g-期望或一致风险度量对金融问题的研究中,通常都是对有限个金融产品的组合在给定的一段时间上进行讨论,比如Barrieu和Karoui (2004), Chen和Kulperger (2006), Biagini, Fouque, Frittelli和Meyer-Brandis (2015)。随着大数据时代金融数据爆炸式的激增,和对未来金融风险预测需求的加剧,如何在不确定的环境下利用这些稳健的工具对金融市场中未定权益的极限行为进行评估,便成为一个有趣的问题。另一方面,除了能够恰如其分的对金融和经济问题进行解释之外,非线性期望和容度也有非常重要的理论价值。实际上早在1953年,Choquet(1953)就首次引入了容度(Capacity)和Choquet积分的概念,这是经典线性概率论的一个重要发展；受到随机集的启发,Dempster(1967)用不同的方式定义了上下概率和相应的期望；在g-期望的基础上,Peng(2010)进一步引入了一个更加一般的次线性期望框架——G-期望。特别的,这些非线性期望空间中的极限理论,作为经典概率论基础理论的重要发展和延续,一直是学者们关心和研究的一个热点,相关的工作请参见Walley和Fine (1982),Dow和W-erlang (1994), Marinacci (1999), Epstein和Schneider (2003), Maccheroni 和 Marinacci (2005), Cooman和Miranda(2008), Chen和Wu(2011), Chen, Wu和Li (2013), Teran (2013), Zhang (2014), Chen和Chen(2014)。这些学者们在不同的空间中利用不同的假设条件得到了许多有意义的结果,然而如何对他们的假设条件进行弱化,给出一般次线性期望空间下的极限定理也是一个很有意义的问题。针对上述问题,本篇博士论文主要进行了下列研究工作,得到的结果是比较有趣和有创新性的：1、从一个金融问题出发,借助g-期望的性质研究了股票价格在Knight不确定性环境下的极限行为,并将方法推广到一族不连续概率测度的最大期望生成的次线性期望空间中。2、对g-期望空间中布朗运动的极限理论进行了深入的研究,首次发现了一般次线性期望空间和g-期望空间的极限关系,给出了联结两个次线性空间的大数定律,这是一个很有创新性的结果,由此我们得到了一般次线性期望空间中随机变量不同形式的大数定律及其相互等价条件,随后将研究结果应用到某些实际的金融风险度量问题中,同时对股票价格的极限行为也有了更深的理解。3、借助次线性期望下的极限理论对数论中若干著名的猜想进行了讨论和再认识,首次在容度意义下给出了部分支持性结论。虽然随机框架下的证明并不意味着数论猜想的解决,但鉴于概率论中某些极限定理的最初思想正是来源于数论,我们认为,这种讨论和再认识作为概率论对数论的一种回归也是一个非常有趣的问题。4、进一步研究了G-期望空间中的大数定律,最后我们将经典随机分析中的某些方程平稳性和收敛问题推广到了G-随机分析的框架下。下面我们就来介绍下每章的工作,这些结果由我在博士期间完成的7篇论文整合而成,其中2篇已经在SCI期刊上正式发表。第一章我们从一个金融问题出发,在Chen和Epstein(2002)的框架下,研究了金融市场中基础证券—股票的价格在Knight不确定性环境下的极限行为,首次得到了g-期望空间(Ω,F,εκ,Pκ)中股票价格的大数定律。随后我们将该方法推广到由最大期望EP=supP∈PEP生成的次线性期望空间(Ω,F,P,EP)中,给出了一列指数独立随机变量的大数定律,与g-期望空间不同的是,概率测度族P中的概率不再绝对连续。·1.1 Knight不确定性环境下股票价格的大数定律本章中,以下列几何布朗运动表示金融市场中的股票价格：其中h,σ≥0为常数,S0为正值随机变量。定义1.与Chen和Epstein(2002)一样,我们引入下列概率测度族来描述金融市场中的Knight不确定性环境,即常数k用来表示市场中模糊性的程度,被记为κ-忽略(Ignorance)。定义概率测度族Pκ的最大概率和最小概率为和(PK,PK)实际上为倒向随机微分方程在生成元函数g(t,y,z)=k|z|时诱导的一对g-风险容度,不具有线性的可列可加性。同时由于g-期望和g-容度的时间一致性,我们对上述定义中的符号不做时间上的区分。定理1.令{Si)i=1∞为股票价格过程(0.0.1)在时刻t=1,2,...的值,记Sn=logSn-log So,且κ:=h-1/2σ2+kσ和κ:=h-1/2σ2-kσ,则对任意的ε>0有和在市场中,波动率一般是正的,但我们依然给出对σ≤0的数学结果。推论1.当σ<0时,令{Si}i=1∞为随机微分方程(0.0.1)的解在t=1,2,...的值,记Sn=log Sn-log S0,则对任意的ε>0有和推论2.当σ=0时,记Sn=log Sn-log S0,则对任意的ε>0有下列结果给出了Knight不确定性环境下股票价格在无穷时刻的一个稳健的区间估计。定理2.对任意的ε>0,1.当σ≥0时,有2.当σ<0时,有·1.2股票价格的大数定律在一般次线性期望空间中的推广我们将定理1的方法推广到更一般的次线性期望空间中,首先在9-期望空间中考虑下列更为一般的方程形式定理3.考虑上述FBSDE系统,若其中9函数与y无关,且对z具有次可加性和正齐次性。记εg和(Pg,Pg)为相应的g-期望与g-容度。令Sn=∑i=1nXi= ∑i=1n(φi(Xi)-φi-1(X-1)),若存在可测函数φi使得对任意的i∈N+有εg[Xi]=εg[X1]和-εg[-Xi]=-εg[-X1],且εg[Xi2]<∞,则对任意的ε>0有和在g一期望框架下,Pκ中的概率测度是绝对连续的。对更为一般的非空概率测度集合P,考虑由最大期望EP[X]:=supP∈PEp[X]生成的次线性期望空间(Ω,F,P,EP)。定义2.(指数独立)在次线性期望空间(Ω,F,P,EP)中,若对指数函数φ(x)=ex,有称随机变量Y在EP[·]下指数独立于X。相应的,若对任意的i=1,2,…,Xi+1指数独立于∑j=1i,Xj,则称一列随机变量{Xi}i=1∞满足指数独立。指数独立实际上是经典概率论中负相关概念在次线性期望空间下的延伸,可见第一章注记1.10的讨论。在指数独立条件下我们有下列大数定律：定理4.假若{Xi}i=1∞为次线性期望空间(Ω,F,P,EP)中一列指数独立的随机变量,若对某些Ω>0,有supi∈N+EP[|Xi|1+α]<∞,EP[Xi]=μ和EP[-Xi]=μ。记 Sn=∑i=1nXi,并且VP(A):=supP∈PP(A),vP(A):=invP∈PP(A)为相应的上下容度。则对任意的ε>0有和第二章 本章的工作分为两大部分,受第一章启发,我们对g-期望空间下布朗运动的极限理论进行了深入的研究,得到了布朗运动两种形式的大数定律,及其大偏差原理和中心极限定理。另一方面,与以往极限理论研究中只针对一个空间不同,我们首次发现了一般次线性期望空间(Q,F,E)和g-期望空间(Ω,F,εg)的极限关系,给出了联结两个空间的大数定律,这意味着(Ω,F：E)中∑i=1nXi/n的极限行为都可以由(Q,F,εg)下布朗运动的均值鲁来进行研究。借助后者的性质,我们给出(Q,F,E)中卷积独立随机变量多种形式的大数定律及其相互等价条件。与第一章不同的是,本章的次线性期望E不需要是一族概率生成的最大期望,且随机变量的独立假设更为一般,因此证明方法也完全不同。随后我们将研究结果应用到某些实际的金融风险度量情形中,同时对股票价格的极限行为也有了更深的理解。·2.1 g-期望空间下布朗运动的极限理论定义3.考虑(Ω.F,P)中两个倒向随机微分方程：和其中μ≤μ。上述两个倒向随机微分方程诱导的g-期望和g-容度分别记为(εg,Pg)和(εg,Pg)。由于g-期望和g-容度的时间一致性,和第一章一样我们对符号不做时间上的区分。引理1.εg|ζ|=-εg[-ζ],ζ∈L2(Ω,F,P).由引理1,记(Ω,F,εg)为倒向随机微分方程(0.0.2)和(0.0.3)诱导的g-期望空间,其中(Pg,Pg)为空间中的上下g-容度。下边我们介绍(Ω,F,εg)中布朗运动的两条大数定律,及其大偏差原理和中心极限定理。定理5.在g-期望空间(Ω,F,εg)中,我们有下列期望形式的大数定律,即对任意的函数φ∈Cb(R),定理6.记Pg为倒向随机微分方程(0.0.3)诱导的g-容度,即Pg(A)=εg[IA]=-εg[-IA]。则对于任意的ε>0,有定理7.在g-期望空间(Ω,F,εg)中,下列两条大数定律相互等价：1.对于任意的￡>0,有2.对任意的函数φ∈Cb(R),有定理8.记Pg和Pg分别为g-期望空间(Q,F,εg)中的上下g-容度,即Pg(A)=εg[IA]和Pg(A)=εg[IA]=-ε[-IA],则布朗运动有下列的大偏差原理：1.对任意的2.对任意的3.对任意的4.对任意的定理9.在g-期望空间(Ω,F,εg)中,布朗运动有下列的中心极限定理,即对任意的X∈R：和其中Φ(X)是标准正态分布的概率分布函数。·2.2一般次线性期望空间与g-期望空间的极限关系定义4.考虑可测空间(Ω,F),记H为其上随机变量的集合。如果可测空间(Ω,F,H)上的泛函E：H→(-∞,+∞)满足下列四条性质,称E为一个次线性期望,即1.单调性：E[X]≥E[Y]若X≥Y；2.保常性：E[c]=c若c为常数;3.次可加性：E[X+Y]≤E[X]+E[Y];4.正齐次性：E[λX]=λE[X]若常数λ≥0.称(Q,F,E)为次线性期望空间。对给定的次线性期望E,定义其相应的对偶期望为ε[X]=-E[-X],相应的一对伴随容度分别为V(A)=E[IA],v(A)=ε[IA],A∈F,这里的次线性期望E比第一章中的EP更为一般,不必是一族概率生成的最大期望的形式。定义5.(卷积独立)在次线性期望空间(Q,F,E)中,若对给定的函数φ有则称随机变量Y∈H关于φ在次线性期望E下卷积独立于X∈H。相应的,若对任意的i=1,2,…,Xi+1关于φ卷积独立于∑j=1iXj,则称一列随机变量{X}I=1∞(?)H在次线性期望E下满足关于φ的卷积独立。次线性期望下卷积独立的思想,源于经典概率论中比独立还要弱的卷积关系,也进一步放宽了Peng(2010)中随机变量在G-期望下的独立性假设,详细的分析请参见第二章的注记2.4,注记2.5和注记2.6。定理10.(两个空间的极限关系)考虑次线性期望空间(Ω,F,E),若空间中的一列随机变量{Xi}i=1∞对任意的φ∈Cb2(R)在次线性期望E下满足关于φ的卷积独立,且有相同的一阶矩,即E[Xi]=μ,ε[XI]=μ并且有supi∈N+E[|Xi|2]<∞。记Sn:=∑i=1nXi,εg为倒向随机微分方程(0.0.2)诱导的g-期望,则对任意的φ∈Cb(R),有定理10意味着一般次线性期望空间(Ω,F,E)中∑i=1nXi/n的极限行为都可以通过g-期望空间((Ω,F,εg)下布朗运动均值鲁来进行研究,则结合g-期望的有关性质,我们可以得到下列一般次线性期望空间下随机变量的大数定律。定理11.{Xi}i=1∞为满足定理10假设条件的一列随机变量,记Sn=∑i=1nXi,则对任意的φ∈Cb(R),有定理12.{Xi}i=1∞为次线性期望空间(Ω,F,E)中的一列随机变量,对任意非负单调的φ∈Cb2(R)在次线性期望E下满足关于φ的卷积独立,且E[Xi]=μ,ε[Xi]= μ,supi∈N+E[|Xi|2]<∞。v为给定次线性期望空间(Ω,F,E)中的伴随容度,即v(A)=ε[IA],则对任意的ε>0,由于独立性条件和期望的定义不同,定理12与第一章的定理4虽然结果形式相似,但并不相互包含,其证明方法也截然不同。下列定理给出了次线性期望空间中三条大数定律等价的一个充分条件。定理13.给定次线性期望空间(Ω,F,E),{Xi)i=1∞1(?)H为空间中一列随机变量,对任意的φ∈Cb+(R)满足E下的卷积独立,且E[Xi]=μ,ε[Xi]=μ,supi∈N+E[|Xi|2]<∞。记Sn:=∑i=1nXi,v(A)=ε[IA],A∈F。下列的三条大数定律相互等价：Ⅰ.对任意的函数φ∈Cb(R),Ⅱ.对任意的￡>0,Ⅲ.对任意的函数φ∈Cb(R),我们还给出了本章结果对某些一致风险度量的应用,也得到了对股票价格极限行为的一些更深的理解,请参见§2.2.5节和§2.5节。第三章本章的工作也分为两大部分,第一部分在G-期望框架下,借助G-BSDE引入了一类新的不具有次可加性的非线性期望,并给出了此期望下的一个大数定律。第二部分,运用次线性期望极限理论的思想,对数论中若干著名猜想进行了讨论和再认识,在容度意义下给出了部分支持性结论。●3.1 G-期望空间中的大数定律本章的研究是在Peng(2010)提出的G-期望框架下进行的。下列收敛性结果实际上是定理15的引理,其本身也可以看成是随机变量在次线性期望空间下的一个p阶大数定律。定理14.{Xi}i=1∞为次线性期望空间(Ω,H,E)中的一列R-值随机变量,且{Xi}i=1∞(？) LGp(Ω),p∈N,若Xi+1d=Xi,Xi+1独立于{X1,…,Xi),i=1,2,…,且有E[X1]=-E[-X1]。记Sn:=∑i=1nXi,则当n→ o∞,定义6.考虑下列G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程(G-BSDE),令EtG[ξ]:=YtT,ξ,特别的,当t=0时,我们有由G-BSDE诱导的非线性数学期望EG[ζ]。下边我们给出这个非线性期望下的一个大数定律。定理15.{Xi}i=1∞为(Ω,H,E)中的一列R-值随机变量,且{Xi}i=1∞(?)LG2(ΩT)。假设对任意的i=1,2,…,Xi+1d=Xi且Xi+1独立于X1,…,Xi,且有E[X1]=-E[-X1]。令Sn:=∑i=1nXi,则对任意的φ∈Cb,Lip(R),有●3.2借助次线性期望极限理论对数论猜想的再认识定义7.Mobius函数是定义在正整数上的如下函数,即数论中Mertens函数定义为M(N)=∑n=1N μ(n),Mertens函数在黎曼猜想的研究中有非常的重要的意义,例如在数论中有下列非常著名的黎曼猜想的等价命题：命题1.令ζ(s)表示Riemann-Zeta函数,则下列的两条猜想等价：1.对所有的ε>0,存在一个常数Cε使得|M(N)+≤CεN1/2+ε。2.(黎曼猜想)若ζ(s)=0对某些实部满足0<Re(s)<1的s成立,则Re(s)=1/2。由于Mobius函数在数论中具有特殊的随机性,参见注记3.7、注记3.8和§3.2.3节的讨论,我们将μ(n),n=1,2,3...看作一个次线性期望空间(Ω,F,P,E)下一列IID的随机变量,(V,v)分别为概率测度族P的上下容度,则我们在次线性期望空间下对Mertens函数有如下估计：定理16.记M(N)=∑n=1Nμ(n),则有M(N)=O((?))q.s.v.定理17.若{bN}为一列非负的递增数列,且N1/2/bN→0,则对任给的ε>0,有limN→∞v(|M(N)|≤εbN)=1.推论3.对任意的ε>0,存在常数Cε>0,使得Mertens函数有形如命题1中的下列估计,LimN→∞v(|M(N)|≤CεN1/2+ε)=1.注记1.考虑到对任意的ε>0,存在一个常数Cε使得(?)<CεNε,结合命题1,上述三条结论表明黎曼猜想在容度v的意义下成立,即在随机意义下为黎曼猜想成立提供了支持性结论。值得一提的是次线性期望的讨论框架,比以往概率数论中对μ(n)的假设更加合理,请参见注记3.6,注记3.7和注记3.8。注记2.Good和Churchhouse(1968)提出了下列关于Mertens函数的猜想,一直没有得到证明或否定,即结合定理16,我们认为这个猜想的正确性在很大程度上值得怀疑。注记3.Odlyzko和te Riele(1985)中提出了另一个关于Mertens函数的猜想,即我们给出了这个估计在容度意义下成立的结论,即定理18。定理18.记M(N)=∑n=1Nμ(n),则有第四章本章将一些经典的结果推广到了G-期望的框架下,研究了G-布朗运动驱动的随机微分方程(G-SDE)的均方概周期解及其平稳性质,讨论了G-SDE在容度下的渐近稳定性和G-BSDE的解关于系数的稳定性。·4.1 G-SDE的均方概周期解及其渐近稳定性定理19.考虑下列G-布朗运动驱动的随机微分方程,若系数满足§4.1.2节中假设(H1)和(H2),且有则G-SDE(0.0.5)存在唯一的均方概周期温和解。例子1.考虑下列具备Dirichlet条件的一维G-SDE,令其中D(A)={x∈C1[0,1]|x’(r)在[0.,1]上绝对连续,x"∈L2[0,1],x(0)=x(1)=0).容易验证G-SDE(0.0.6)满足§4.1.2节中假设(H1)和(H2),则由定理19可知其存在唯一的均方概周期温和解。定理20.若方程(0.0.5)满足定理19的条件,且有则其唯一的均方概周期温和解Xt*在均方意义下渐近稳定。·4.2 G-SDE在容度下的渐近稳定性定理21.考虑下列G-布朗运动驱动的随机微分方程若存在正定函数V(x,t) ∈C2,1(Sh×[0,∞))使得对任意的(X,t)∈Sh×[0,∞)有则G-SDE(0.0.7)的平凡解依容度v随机稳定。定理22.若存在正定渐减函数V(x,t) ∈C2,1(Sh×[0,∞))使得为负定的,则方程(0.0.7)的平凡解在容度V意义下随机渐近稳定。定理23.若存在正定渐减径向无界的函数V(x,t)∈C2,1(R×[0,∞))使得为负定的,则方程(0.0.7)的平凡解在容度V意义下随机充分渐近稳定。注记4.在上述三个定理的证明中考虑下列函数可以将结果推广到下列h≠0的G-SDE,例子2.考虑G-SDE(0.0.7),假设系数在x=0的一个小邻域中对t一致满足如下条件其中f(t)和9(t)为有界实值函数。进一步假设存在一对正值的常数H和K使得和且对G-期望E,令0≤σ≤σ=1,则我们可以定义下列函数由此容易验证函数V(x,t)满足定理22的条件,则G-SDE(0.0.7)的平凡解依容度v随机稳定,且在容度V意义下随机渐近稳定。●4.3G-BSDE的解关于参数的稳定性在本节,我们考虑下列一族依赖参数δ(d≥0)的G-BSDE,定理24.假设G-BSDE(0.0.8)的系数满足§4.2.3节中假设(A1),(A2)和(A3),则方程的解Kα有如下的稳定性,即当δ→0,定理25.假设G-BSDE(0.0.8)的系数满足§4.2.3节中假设(A1),(A2)和(A4),则方程的解(Ytδ,Ztδ,Ktδ)∈gG∝(0,T)有如下的稳定性,即当δ→0,