基于经典连续介质理论推导的力学/数学模型,在描述材料的微观结构起主导作用的力学行为时,无法准确地捕捉到材料的尺寸效应。为了更合理地描述材料在微/细观尺度下的力学行为,本文基于修正梯度弹性理论(Modified Gradient Elasticity,MGE),推导了考虑应变梯度影响的伯努利-欧拉梁模型和Ⅲ型裂纹应力解析解。首先,基于修正梯度弹性理论推导了一种新的伯努利-欧拉梁模型。该模型的控制方程和边界条件由变分原理推出,同时模型中包含两个与材料有关的内部特征长度参数:沿梁厚度方向的内部特征长度参数lz和沿梁长度方向的内部特征长度尺度lx。当两个内部特征长度参数消失时,新模型可以还原为经典的欧拉梁模型。文中给出了悬臂梁在两种典型荷载下的数值结果,结果表明,新模型可以捕捉到尺寸效应,并且挠度随着内部特征长度参数的增大而减小。lz对挠度的影响大于lx的影响,梁的刚度增加主要受lz控制。本文推导的新模型可用于工程应用和结构设计。然后,通过修正梯度弹性理论将应变梯度和内部特征长度参数引入到Ⅲ型裂纹的基本方程中。通过复变函数方法,在修正梯度弹性理论的框架下推导出了 Ⅲ型裂纹问题的应力场解析解。当内部特征长度参数消失时,应力场可简化为经典线弹性断裂力学的应力场。结果表明,剪切应力的奇异性由两部分组成:r-1/2部分和r-3/2部分;并且剪切应力σyz的数学符号在裂纹尖端发生改变。随着内部特征长度参数的增大,σyz的峰值减小,且峰值点的位置远离裂纹尖端。应变梯度会显著影响Ⅲ型裂纹裂尖附近的应力场,且该影响不可被忽略。