1952年著名数学家与统计学家R.C.Bose和T.Shimamoto提出了结合方案(简称方案)的概念.结合方案与组合设计、有限群、表示理论、调和分析及数论等有着密切联系，结合方案应用广泛，从早期的纠错码、统计实验设计和积分逼近，到近来的量子信息、网络码、保密学和半正定线性规划等都有应用背景.1973年P.Delsarte在其博士论文中开创性地在结合方案的框架下统一研究纠错码和t-设计，特别地，Delsarte引进了P-多项式和Q-多项式结合方案的概念，这两类方案分别成为他研究设计理论和编码理论的框架，代数组合学领域的权威E.Bannai在上世纪80年代提出了P-多项式和Q-多项式方案的分类问题，成为代数组合的一个核心研究课题.Bannai和T.Ito于1984年出版了结合方案理论的经典专著，总结、规划了这个分支的研究方向.其中，P-多项式方案(特别是有着Q-多项式结构的P-多项式方案)因其具有自然的图结构(即距离正则图，cf.[3，§3.1，命题1.1])而具有重要的意义。　　距离正则图是1970年左右N.L.Biggs提出来的，它是距离传递图的组合推广。距离正则图的研究是代数组合的最活跃领域，推动着该学科的发展，同时还促进了其他学科(如正交多项式理论)的发展.A.E.Brouwer，A.M.Cohen和A.Neumaier的专著汇集了距离正则图截止到1989年的研究成果，被誉为距离正则图的百科全书。　　为了解决P-与Q-多项式方案的分类问题，P.Terwilliger在上世纪90年代引进了次成分代数(Terwilliger代数).这个代数比Bose-Mesner代数包含更多的组合信息，近年来，Terwilliger与Ito等合作者取得一系列重要成果，尤其是Terwilliger代数的不可约表示与量子群的表示理论的联系，下面我们列出一些与Terwilliger代数有关的研究.Bannai和A.Munemasa研究了群方案的Terwilliger代数，他们给出了这个代数维数的界.在文献中，M.Tomiyama和N.Yamazaki给出了强正则图的Terwilliger代数的维数.P.Balmaceda和M.Oura继续了Bannai和Munemasa的研究，确定了由S5和A5决定的群方案的Terwilliger代数的结构.J.S.Caughman等人研究了二部和几乎二部的P-多项式和Q-多项式结合方案，证明了任何不可约T-模W都是薄的和对偶薄的，并给出了W的两组基，证明了W作为T-模的同构类是由W的端点和直径决定的.B.Collins研究了一个几乎二部距离正则图与它的相反2-覆盖，给出了这两个图的Terwilliger代数和它们的模结构之间的关系.B。Curtin在文献中考虑了一个2齐次的二部距离正则图，给出了这个图的Terwilliger代数的三组生成元，并描述了它的模结构.J，Go详细地描述了超立方体H(d，2)的Terwilliger代数的不可约模.F.Levstein等人在文献中考虑了Hamming方案，证明了Hamming方案H(d，q)的Terwilliger代数可以表示为H(1，q)的Terwilliger代数的对称d-张量积.他们也考虑了Johnson方案J(n，d)，给出了当参数满足3d≤n时Terwilliger代数的具体形式.Go和Terwilliger在中研究紧的距离正则图，他们用Terwilliger代数的工具给出了一个距离正则图是紧的等价条件.Terwilliger考虑一个距离正则图的端点为1的薄模，他给出了这个模的两组基，证明了每一组基在Hermite内积定义下都是正交的，并且计算了这个模的维数.还有一些文章考虑结合方案积的Terwilliger代数.例如文献考虑了Doob方案，它是一些Shrikhande图和一些完全图K4的直积；文献研究了一个类的结合方案的圈积；文献将中的结果进行了推广，考虑了一般的结合方案的直积和圈积.但是一般来说，要确定一个图的Terwilliger代数的结构是很难的。　　本文考虑高度正则图的Terwilliger代数，主要研究了距离双正则图和弱距离正则有向图，并计算了一些特殊的距离双正则图和距离正则图的Terwilliger代数。　　下面我们简要地介绍一下距离正则图，距离双正则图，弱距离正则有向图和Terwilliger代数。　　设图T=(X，R).连接两个顶点X和y的最短路的长度叫做点x与y之间的距离用a(x，y)表示.固定x∈X，我们称D(x)=max{a(x，y)｜y∈X}为相对于x的直径，称D=max{D(x)｜x∈X为图T的直径.定义：　　Ti(x)={y∈X｜a(x，y)=i}，i=0，…，D(x)。　　对于y∈Ti(x)，定义：　　ci(x)=｜Ti-1(x)∩T1(y)｜。　　ai(x)=｜Ti(x)∩T1(y)｜。　　bi(x)=｜Ti+1(x)∩T1(y)｜。　　其中T-1(x)=TD(x)+1(x)=0.若F是二部图，并且Ci(x)，ai(x)和bi(x)只与i以及点x属于哪一部分有关，则T称为距离双正则图；如果只要y∈Ti(x)，数ci=ci(x)，ai=ai(x)和bi=bi(x)就都是常数，那么T称为距离正则图。设图Ti的顶点集合是T的顶点集合，边集是T中距离为i的点对做成的集合，则图Ti叫做T的距离-i图.若T是二部图，那么T2就由两部分组成，这两部分叫做T的二分之一图，文献中命题4证明了如果T是距离双正则图，则它的二分之一图是距离正则图。　　设Ω是一个n元集合，(Ωi)表示Q的所有i元子集组成的集合.Johnson，图J(n，m)的顶点集合为(Ωm)，两个顶点相邻当且仅当它们的交是m-l元子集.设｜Ω｜=2m+1。奇图Om+1的顶点集合为(Ω1m)，两个顶点相邻当且仅当它们不交.Johnson图和奇图都是距离正则图中经典的图，且Om+1是J(2m+1，m)的距离-m图.Johnson几何的关联图J(n，m，m+1)是一个二部图，它的二部划分为(Ωm)∪(Ωm+1)，项点y∈(Ωm)与z∈(Ωm+1)相邻当且仅当y()z.我们知道J(n，m，m+1)是距离双正则图(cf.[8])，它的二分之一图是Johnson图J(n，m)和J(n，m+1)。　　定义Ei*=Ei*(x)为Matx(C)中的对角矩阵，其中Ei*的yy-元为(Ei)yy=1，若y∈Ti(x)，0，其他下面我们给出Terwilliger代数的一些基本概念.设T=T(x)是由邻接矩阵A和E0*，E1*，…，ED(x)生的Matx(C)的子代数，则T称为T的相对于x的Terwilliger代数.设V=CX是复数域C上的列向量空间，V中向量的坐标由X中的元素标记.一个T-模即为V的一个子空间W，满足TW()W.如果一个菲零的T-模不包含非零的真T-子模，则W称为不可约T-模.若一个不可约T-模W满足对所有的i都有dimEi*W≤1，则W称为薄的.图T称为相对于x是薄的如果每一个T(x)-模都是薄的；称为薄的如果T相对于每一个顶点都是薄的。　　设T=(X，R)是一个联通的有向图，我们给出两种弱距离正则有向图的定义：　　(i)设T=(X，R)是一个连通的有向图。　　对T中任意两个顶点x，y，定义：　　a(x，y)=(a(x，y)，a(y，x))。　　如果对于任意两个满足a(u，v)=h的顶点u和v，Pi，jh(x)=｜{w∈X｜a(u，w)=ianda(w，v)=j}｜仅与x，i，j，h有关，则T称为相对于x是弱距离正则的.若T相对于所有的顶点都是弱距离正则的，则T称为弱距离正则有向图。　　(ⅱ)设T=(X，R)是一个联通的有向图，若对于满足a(u，v)=h的任意两个顶点u，v∈X，pijh(x)=｜w∈X｜a(u，w)=i，a(w，v)=j｜仅与x，i，j，和h有关，则r称为相对于x是弱距离正则的.若T相对于所有的顶点都是弱距离正则的，则T称为弱距离正则有向图。　　下面我们列出这篇文章的框架。　　第一章我们介绍了本文的研究背景，给出了一些基本的概念和符号以及本文的主要结论。　　在第二章中我们研究距离双正则图和它的二分之一图，给出了这两个图的Ter-williger代数模结构之间的关系，特别地，我们考虑了完全二部图，并计算了这个图Terwilliger代数的维数。　　在第三章中我们确定了当n≥3m时Johnson几何的关联图J(n，m，m+1)的Terwilliger代数，给出了这个代数的两组基，计算了它的维数，并证明了J(n，m，m+1)是薄的。　　在第四章中我们确定了奇图Om+1的Terwilliger代数，给出它的一组基，并计算它的维数，　　第五章我们考虑有向图的Terwilliger代数，我们研究了两种弱距离正则有向图，并分别给出了一些与距离正则图的Terwilliger代数类似的性质。