本文的主要内容是研究算子方程求根和矩阵求根问题的若干迭代算法.针对算子方程求根问题，我们首先研究了一种Newton-Steffensen型迭代在弱的Lipschitz条件下的半局部和局部收敛行为.此外，我们研究了带参数Euler-Halley迭代族在一种弱的优条件下的半局部收敛行为.针对矩阵求根问题，我们分别研究了Euler法、Newton法和Halley法在计算矩阵主p次根问题中的收敛行为，其中p≥2，并提出了基于这三种迭代法和Schur分解的有效数值算法.　　首先，我们研究一种Newton-Steffensen型迭代在弱的Lipschitz条件下的半局部和局部收敛行为.关于半局部收敛性，当非线性算子的二阶Fréchet导数满足一种弱的Lipschitz条件时，我们得到了保证该迭代三阶收敛的判定条件，并得到了解的唯一性范围和误差估计.关于局部收敛性，当非线性算子的二阶Fréchet导数满足另一种弱的Lipschitz条件时，我们得到了该迭代的局部收敛球及误差估计，并证明了迭代的局部三阶收敛性.　　其次，我们研究了带参数Euler-Halley迭代族在一种弱的优条件下的半局部收敛性.该优条件不需要知道优函数的具体表达式，这使我们得到了非线性算子与优函数更为清晰的关系.在该优条件下，我们证明了带参数Euler-Halley迭代族的三阶收敛性，并得到了新的误差估计和解的唯一性范围.　　再者，我们研究了Euler法在计算矩阵主p次根的收敛行为，得到了一个收敛域，并证明了若给定矩阵的所有特征值都属于该收敛域，且所有零特征值都是半单的，则由Euler法以单位矩阵为起始点进行迭代产生的矩阵序列收敛于该矩阵的主p次根.若该给定的矩阵是非奇异的，则Euler法至少是三阶收敛的.此外，我们还讨论了Euler法在计算矩阵主p次根时的数值稳定性问题，并给出了一个基于Euler法和Schur分解的有效计算格式;数值实验显示，Euler法具有很好的计算效能，且在绝大多数情况下，所需要的计算时间比现有的基于Newton法和Halley法的数值算法更少.　　最后，我们研究了Newton法和Halley法在计算矩阵主p次根的收敛行为，分别得到了这两种迭代法新的收敛域，其中Newton法新的收敛域比[55，定理6]所得收敛域更大，而Halley法新的收敛域与[84，算法3.3]所给的收敛域是可比较的.针对Newton法，我们证明了若给定矩阵的所有特征值都落入新的收敛域中，且所有零特征值都是半单的，则由Newton法以单位矩阵为起始点进行迭代产生的矩阵序列收敛于该矩阵的主p次根.若该给定的矩阵是非奇异的，则Newton法至少是二阶收敛的.类似地收敛性分析可应用于Halley法的收敛定理.此外，我们亦给出了基于这两种迭代法的有效计算格式，数值实验显示，我们所得到的新的收敛域使得这两种迭代法在计算矩阵主p次根时有更好的收敛行为.