在过去的十几年里,拓扑态和拓扑材料的发现,重塑了人们对物理和材料的理解。第一性原理计算通过对拓扑材料真实体系的预言,在连接拓扑物理学理论和实验研究方面发挥了重要作用。在拓扑材料中,受到全局对称性保护的拓扑表面态或者边缘态具有零质量、高迁移率、缺陷容限以及近乎无耗散等输运特性。因此,人们对拓扑材料功能性的应用探索方面越来越感兴趣,包括可用于容错拓扑量子计算的拓扑超导体的实现、自旋电子学中新一代的技术应用以及拓扑表面态作为“电子浴池”提高催化性能等。在本论文中,结合第一性原理计算方法,我们从不同的角度对拓扑材料进行了研究和功能性应用探索。论文的主要内容按如下形式展开:第一章,主要分为三个小节,分别介绍了拓扑材料、二维超导电性以及拓扑材料的功能性应用——拓扑催化。第二章,主要介绍了本论文涉及到的计算方法及其理论背景,分为五个小节,分别是密度泛函理论、Wannier charge centers方法、Eliashberg方程和McMillan公式、吉布斯自由能以及使用的软件。在第三章中,结合第一性原理的计算方法,首先,我们揭示了当施加在单层NbSe2上的静水压超过2.5 GPa时,该压力可以在单层NbSe2中诱导出p-d能带翻转,从而在该体系中保持其固有的超导性的同时实现非平庸拓扑。其次,我们阐释了用Te元素替换Se元素掺杂可以作为一种更具吸引力的化学加压的手段来诱导NbSe2-xTex体系中的非平庸拓扑。具体表现为,当x≥0.8时,可以在NbSe2xTex体系中实现非平庸的能带拓扑。这一现象可以归因于Te元素具有更大的原子半径和更强的自旋轨道耦合（SOC）。接着,我们也计算了在不同压力和掺杂浓度下对应的上临界磁场,而且看到了增强的伊辛超导电性。这一点也被我们的初步实验结果所证实。本章的研究有利于拓扑伊辛超导性在二维体系中的材料实现。在第四章中,我们用密度泛函理论系统地研究了生长在Ge（111）衬底上的Pb3Bi合金的结构、电子和拓扑性质。首先,我们发现存在三个不同的构型,分别标记为T1、H3和T4。它们的结构具有较高的对称性,并且在能量上近乎简并。所有这三个构型都具有巨大的Rashba增强型的SOC和相应的自旋劈裂。其次,我们证明了鞍点型和抛物线型的能带色散都能够导致第二类范霍夫奇点的出现,并且它的位置可以被巨大的Rashba效应显著地调整到费米能级附近。更重要的是,我们发现,对于T1构型,它可以实现拓扑超导;对于H3和T4构型,它们存在拓扑边缘态,并且分别打开了约25 meV和50 meV的拓扑非平庸带隙。考虑到这三个相在能量上的差异较小,上述发现意味着在同一材料平台上实现量子自旋霍尔效应与拓扑超导之间的拓扑相变是可行的。本章的研究有希望为在Rashba体系中寻找包括二维拓扑超导在内的拓扑量子态提供新的思路。在第五章中,利用基于密度泛函理论中的第一性原理计算,我们证明了三维拓扑绝缘体Bi2Se3表面覆盖单层ZnSe可作为最大析氢反应（HER）的理想平台,表现为具有最佳的氢吸附自由能,换句话说,该异质结系统位于描述HER催化活性的火山曲线的峰值处。这种最大催化活性是由两个因素协同导致的:一方面ZnSe覆盖层表面存在的悬挂键可以和吸附物形成局域键合作用;另一方面,拓扑表面态（TSSs）提供的“电子浴池”导致键合作用的增强。此外,我们还通过改变ZnSe覆盖层的厚度揭示了 TSSs垂直位置的精确可调性,这可以用于这类拓扑绝缘体异质结的其他功能应用场景。本章的研究为量子材料的重要成员——拓扑绝缘体与清洁能源的典型代表——催化材料之间提供了重要的联系。在第六章中,利用第一性原理计算方法,我们揭示了少层锡烯生长在Bi（111）上的原子尺度生长机制和非平庸拓扑性质。我们的计算结果表明,氢钝化作为表面活性剂在促进多层生长和提高锡烯薄膜的整体质量方面起着决定性的作用。另一方面,我们系统研究了锡烯的拓扑性质和薄膜厚度以及衬底的依赖关系,并且在不同物理条件下得到了稳健的量子自旋霍尔效应。非平庸拓扑的稳健性归因于Bi衬底的强SOC。这一点也得到了我们合作者的实验证实。本章的研究为在少层锡烯中实现一维拓扑超导开辟了一条有吸引力的途径。在第七章中,我们总结了本论文所做的研究工作,并且对拓扑材料领域的发展进行了展望。