这篇博士论文共由四章构成.第一章,我们主要介绍研究背景和相关结果.我们的结果主要分为两个方面.第一节我们介绍的是关于一类超越整函数的快速逃逸集的补集面积.具体就是,对于形如f（z）=P（e^z）/e^z这样的超越整函数,其中P是满足deg（P）≥ 2且P（0）≠ 0的多项式.我们证明了 f的快速逃逸集的补集限制在宽度为2π的水平带状区域上,其Lebesgue面积是有限的.特别的,该结论对f的Fatou集成立.我们还给出了集合S∩A（f）c面积的一个上界的显式表达式,且这个上界仅依赖于多项式的系数,这里的S是宽度为2π的水平带状区域,A（f）c是f的快速逃逸集的补集.特别的,这个结果可以应用到正弦函数族αsin（z+ β）,其中α ≠ 0,β∈ C.最后,我们采用类似的证明方法将结果推广到了一类更广泛的形如g（z）= P（w）/wmοexp（z）的函数族,其中m ≥ 1是正整数,P是满足deg（P）≥ m+1和P（0）≠ 0的多项式.第二节,我们考虑了一类形如 a₁f’³+a₂f’²f+a₃f’f²+a₄f³+a₅f’²+a₆f’f⁺a₇f²+a₈f’+a₉f+a₁0 = 0的三次Briot-Bouquet微分方程,其中a_j∈ C（j = 1,...,10）均为常量.我们给出了它的所有可能的亚纯解的显式形式.在第二章中,我们主要介绍超越整函数的动力系统的相关知识,值分布理论的部分结果;以及超越整函数的Fatou集和Julia集的一些基本性质;同时也介绍了几类特殊的超越整函数如有界型整函数和有限型整函数;最后介绍了逃逸集和快速逃逸集的相关结果.在第三章,我们给出了关于一类超越整函数的快速逃逸集补集面积的结果的证明.第四章,我们给出了关于三次Briot-Bouquet微分方程的亚纯解的结果的证明.