论文部分内容阅读
【摘要】 新课程背景下，对小学数学思想方法的教学提出了新要求，增加了新内容，这是全面推进素质教育的需要，更是社会发展的需要. 作为教师要明确数学思想方法的内涵，把握渗透的契机，真正使学生既牢固掌握基础知识，又培养能力.
【关键词】 数学思想方法；困惑；思考
我们常说：“学数学的人与别的人不同，他们在想问题和做事时常常喜欢追求数量精确性，过程严谨性，条理简约性及思考与表达的高度概括性. ”说到底，这就是一种数学精神，一种数学思想方法，它不是天生的，是在学习和运用数学的过程中熏陶、感染、领悟和实践锻炼出来的. ２００１年出版的《数学课程标准》（实验稿）中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得：对未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学知识，数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技术. ”这是以往所不曾有的. 当“数学思想方法大众化，并使其在数学课程中充分体现，将是设计２１世纪数学课程的突破口”已成为一种趋势时，很多老师不知所措，不知道自己这样的教学方式还是否合理. 在此，笔者就是想通过对新课程下数学思想方法教学的冷思考，试图寻求到答案.
一、困惑疑虑——迷失教学方向
审视数学思想方法教学的现状，由于长期以来，我们对数学教学效果的评价总是以对“显性知识”的掌握而展开的，因此，导致在课堂上我们的许多老师数学教学变成了单纯的“解题教学”，只讲解题步骤，不展示思维的过程；只讲解题结果，不探寻来龙去脉. 如计算教学中仍是以计算为主线，虽然也重视算法的多样性，但却忽视算法多样性背后的不变性——即算法所蕴含的数学思想方法. 究其原因，教师没有充分认识到数学思想方法对学生发展的重要性，对挖掘教材中的数学思想方法存在困难，甚至不少教师对特定的数学知识背后隐藏什么样的数学思想方法全不知晓. 鉴于此，笔者通过与教师们的交流，发现教师在课堂上不愿进行数学思想方法教学的原因主要有这样几种，整理如下：
１. 数学思想方法在哪里
数学的知识内容始终反映着两条线，即数学基础知识和数学思想方法，每一章节乃至每一道题都体现着这两条线的有机结合，而数学思想方法又不是孤立地存在着的，它寓于数学基础知识之中，不是一眼就能看出来的，所以造成很多老师很难发现数学思想方法藏在哪里.
２. 这么多的数学思想方法，哪些是要在小学阶段渗透的
古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花. 一方面，由于小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，另一方面要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的，那么，“这么多的数学思想方法，哪些是要在小学阶段渗透的”便成了老师们的一个困惑.
３. 什么时候去渗透数学思想方法
一直以来我们的数学课堂总是如此：教师讲解例题２５分钟，学生练习１０分钟，做课堂作业５分钟，一堂课下来总感觉时间还不够用，现在要在有限的４０分钟内既夯实双基，又培养能力，这是多么难的一件事啊！什么时候去渗透数学思想方法呢？这无疑成了老师们的又一困扰.
４. 怎样渗透数学思想方法
数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程密切地联系在一起的内部之物，它的教学是该深藏不露呢还是该独立教学？是该“蜻蜓点水”呢还是该“形成系列化”？如何来渗透数学思想方法，又是老师们一个想不明白的问题.
以上种种问题让老师们无所适从，几乎所有的老师都在问“新课程背景下的数学思想方法”到底该怎么教？
二、理解本质——把握价值取向
面对着老师们存在的种种困惑，笔者认为最重要的就是理解新课程理念下的“数学思想方法”教学的本质，只有在这个基础上我们才可能去思考新课程背景下“数学思想方法”该如何教.
狭义地说，数学思想方法包括数学思想和数学方法两个方面. 对此，多数文献是这样定义的：数学思想是数学活动的基本观点，是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；而数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；是以数学知识为载体，在数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识. 但广义地说，思想包含着方法，方法也隐含着思想. 教师只有正确认识新课程理念下“数学思想方法”的概念，内涵，对把握“数学思想方法”教学目标才会清晰、科学、可操作.
三、寻求平衡——探索教学途径
客观、理性地分析当前“数学思想方法”教学的现状，的确存在着一些问题. 而另一方面，新课程背景下，在界定和适用于义务教育阶段学生领悟和掌握的数学思想方法方面目前积累的研究成果也很不充分. 笔者通过资料查找，分析整理，专家访谈等途径，对该问题有了一些粗浅的想法.
（一）对比分析，寻求教学内容的平衡
由于小学生数学知识还比较贫乏，如果把数学思想方法作为一门独立的学科来教学是不太现实的，而数学知识又是数学思想的载体，我们可以充分利用这个载体，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节. 那么，新课程实验教材中的数学思想方法是怎样具体分布的呢？我查找了相关资料，发现主要有这么五类：
１. 极限思想
教材主要从三个方面来渗透：
第一、从数量上看无限多.
首先是运用极限思想认识无限的问题. 如在自然数、奇数、偶数、循环小数这些概念教学时让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个；循环小数的小数位数有无数位；经过一点能画（ ）条直线，两条平行线之间的高有无数条等.
其次运用极限思想认识有限的问题. 如在两位数乘法教学后提问：两位数乘两位数的积最大可能是（ ）位数，最小可能是（ ）位数. 在商不变性质教学后让学生练习（３２ ÷ □） ÷ （８ ÷ □） ＝ ４，□里可以填几，把握它的取值范围，帮助检验等.
第二：从图形上看无限延伸. 在直线、射线、平行线的教学时，让学生体会线可以向两端或一端无限延长.
第三：从方法上看无限逼近.
圆的面积，圆柱体的体积的推导公式，均采用“化圆为方”“变曲为直”的极限分割思路，在“观察有限分割”的基础上“想象无限细分”；在循环小数的教学中，让学生比较０．９的循环与１的大小，通过检验体会任何一个循环小数都可以改写成分数，从而使学生萌发无限逼近的极限思想.
２. 数形结合思想
“数形结合”就是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维与抽象思维的协调发展. 它是教材编排的重要原则，更是解决问题时常用的方式. 教材中数形结合思想的主要应用有：① 图文共赏，丰富想象. 这在新课程实验教材中体现尤为明显，如每一个单元都配有主题图，整册教材都有小精灵的指引等. ② 以形助思，化难为易. 如用画线段图的方法来解决问题，就是用图形来代替数量关系的一种方法. ③ 以数帮形，由浅知深. 如通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等. ④ 数形沟通，开发智能.
３. 符号化思想
数学离不开符号，就像鱼儿离不开水一样，英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”. 数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展. 现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透. 从一年级就开始出现用（ ）、□代替元符号x，让学生在其中填数；到了三、四年级就出现了用字母表示数，用字母公式表示运算定律，面积计算方法，并有了求未知数x. 到了五六年级，出现了列方程解应用题等.
４. 统计思想
数据处理方法随着现代化的发展进程，越来越深入到社会生活的各个领域. 小学数学中的统计图表是最基本的统计方法，但各个阶段它的侧重点有所不同.
低、中年级：在教材中渗透统计初步知识，简单统计、收集简单数据，填写统计表，平均数问题.
高年级：百分数统计图表集中渗透统计思想，从收集原始数据到科学整理归类、制作统计表，揭示规律，在解题中领会统计思想.
５. 化归思想
化归是解决数学问题常用的思想方法，它的核心是：以可变的观点对所要解决的问题进行变形，教学时经常用到它. 如小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法，异分母分数加减法化归为同分母分数加减法. 在教学平面图形求积公式中，就以化归思想实现长方形、正方形、三角形、梯形、圆的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善学生的认识结构.
事实上小学数学教材中，除了较多地渗透了上述数学思想方法外. 在概念的引入、结论的得出时，大都经历了对特殊事例的观察、比较、分析、综合、归纳、概括等步骤，这样突出了数学思想方法渗透的过程性，延缓了概念形成的过程及结论推导的过程，从而有效地避免了把数学教学当作知识结论来灌输的弊病，有助于学生从小逐步形成良好的思考方法.
诚然，要使学生真正具备有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到的，它需要我们教师的智慧与持之以恒的不懈努力，力求做到三个“重”：
１. 在思想上重体现
教师以什么样的态度面对学生，决定着学生的成长；教师有怎样的教学理念，决定着他的教学行为. 加强数学思想方法教学，首先需要教师在思想上高度重视，要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施，教学效果的落实等各个方面来体现数学思想方法，使每节课的教学获得和谐的统一. 同一道练习，同一堂课，可以这样上，也可以那样上，关键还在于教师用怎样的一种心态去对待. 因而在备课时教师就要做到：必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘，在课堂上进行落实.
２. 在教学中重落实
数学教学是揭示数学思维过程的活动，在教学中教师要充分展现知识的形成发展过程，挖掘其中蕴含的丰富的数学思想方法，揭示思想方法在知识的互相联系、互相沟通中的纽带作用. 数学教学中的重点，往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处；数学教学中的难点，往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关，因此，教师要特别注意把握时机，适时运用. 数学教学中的课堂小结、阶段复习、练习，往往就是对某种数学思想方法进行揭示概括和强化的最佳时期，这时教师可根据教学需要，做到数学思想方法该露脸时就露脸，对其进行提炼、归纳和概括，使之明朗化，明确化.
3. 在方法上重指导
学有学法，但无定法. 数学思想方法是静态的，而方法的实施是动态的，某一数学思想方法何时用，为何用，如何用，这是个非常灵活的策略问题. 首先教师要特别注意数学思想方法在解决典型问题中的运用；其次教师要通过一题多解的练习，培养学生思维的发展性、灵活性、批判性.
在课堂上进行数学思想方法教学，只有教师在思想上重体现，教学上重落实，方法上重指导，这样才能使我们的数学课堂更具数学味，学生的数学素养才能够得到全面提升！
【关键词】 数学思想方法；困惑；思考
我们常说：“学数学的人与别的人不同，他们在想问题和做事时常常喜欢追求数量精确性，过程严谨性，条理简约性及思考与表达的高度概括性. ”说到底，这就是一种数学精神，一种数学思想方法，它不是天生的，是在学习和运用数学的过程中熏陶、感染、领悟和实践锻炼出来的. ２００１年出版的《数学课程标准》（实验稿）中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得：对未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学知识，数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技术. ”这是以往所不曾有的. 当“数学思想方法大众化，并使其在数学课程中充分体现，将是设计２１世纪数学课程的突破口”已成为一种趋势时，很多老师不知所措，不知道自己这样的教学方式还是否合理. 在此，笔者就是想通过对新课程下数学思想方法教学的冷思考，试图寻求到答案.
一、困惑疑虑——迷失教学方向
审视数学思想方法教学的现状，由于长期以来，我们对数学教学效果的评价总是以对“显性知识”的掌握而展开的，因此，导致在课堂上我们的许多老师数学教学变成了单纯的“解题教学”，只讲解题步骤，不展示思维的过程；只讲解题结果，不探寻来龙去脉. 如计算教学中仍是以计算为主线，虽然也重视算法的多样性，但却忽视算法多样性背后的不变性——即算法所蕴含的数学思想方法. 究其原因，教师没有充分认识到数学思想方法对学生发展的重要性，对挖掘教材中的数学思想方法存在困难，甚至不少教师对特定的数学知识背后隐藏什么样的数学思想方法全不知晓. 鉴于此，笔者通过与教师们的交流，发现教师在课堂上不愿进行数学思想方法教学的原因主要有这样几种，整理如下：
１. 数学思想方法在哪里
数学的知识内容始终反映着两条线，即数学基础知识和数学思想方法，每一章节乃至每一道题都体现着这两条线的有机结合，而数学思想方法又不是孤立地存在着的，它寓于数学基础知识之中，不是一眼就能看出来的，所以造成很多老师很难发现数学思想方法藏在哪里.
２. 这么多的数学思想方法，哪些是要在小学阶段渗透的
古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花. 一方面，由于小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，另一方面要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的，那么，“这么多的数学思想方法，哪些是要在小学阶段渗透的”便成了老师们的一个困惑.
３. 什么时候去渗透数学思想方法
一直以来我们的数学课堂总是如此：教师讲解例题２５分钟，学生练习１０分钟，做课堂作业５分钟，一堂课下来总感觉时间还不够用，现在要在有限的４０分钟内既夯实双基，又培养能力，这是多么难的一件事啊！什么时候去渗透数学思想方法呢？这无疑成了老师们的又一困扰.
４. 怎样渗透数学思想方法
数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程密切地联系在一起的内部之物，它的教学是该深藏不露呢还是该独立教学？是该“蜻蜓点水”呢还是该“形成系列化”？如何来渗透数学思想方法，又是老师们一个想不明白的问题.
以上种种问题让老师们无所适从，几乎所有的老师都在问“新课程背景下的数学思想方法”到底该怎么教？
二、理解本质——把握价值取向
面对着老师们存在的种种困惑，笔者认为最重要的就是理解新课程理念下的“数学思想方法”教学的本质，只有在这个基础上我们才可能去思考新课程背景下“数学思想方法”该如何教.
狭义地说，数学思想方法包括数学思想和数学方法两个方面. 对此，多数文献是这样定义的：数学思想是数学活动的基本观点，是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；而数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；是以数学知识为载体，在数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识. 但广义地说，思想包含着方法，方法也隐含着思想. 教师只有正确认识新课程理念下“数学思想方法”的概念，内涵，对把握“数学思想方法”教学目标才会清晰、科学、可操作.
三、寻求平衡——探索教学途径
客观、理性地分析当前“数学思想方法”教学的现状，的确存在着一些问题. 而另一方面，新课程背景下，在界定和适用于义务教育阶段学生领悟和掌握的数学思想方法方面目前积累的研究成果也很不充分. 笔者通过资料查找，分析整理，专家访谈等途径，对该问题有了一些粗浅的想法.
（一）对比分析，寻求教学内容的平衡
由于小学生数学知识还比较贫乏，如果把数学思想方法作为一门独立的学科来教学是不太现实的，而数学知识又是数学思想的载体，我们可以充分利用这个载体，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节. 那么，新课程实验教材中的数学思想方法是怎样具体分布的呢？我查找了相关资料，发现主要有这么五类：
１. 极限思想
教材主要从三个方面来渗透：
第一、从数量上看无限多.
首先是运用极限思想认识无限的问题. 如在自然数、奇数、偶数、循环小数这些概念教学时让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个；循环小数的小数位数有无数位；经过一点能画（ ）条直线，两条平行线之间的高有无数条等.
其次运用极限思想认识有限的问题. 如在两位数乘法教学后提问：两位数乘两位数的积最大可能是（ ）位数，最小可能是（ ）位数. 在商不变性质教学后让学生练习（３２ ÷ □） ÷ （８ ÷ □） ＝ ４，□里可以填几，把握它的取值范围，帮助检验等.
第二：从图形上看无限延伸. 在直线、射线、平行线的教学时，让学生体会线可以向两端或一端无限延长.
第三：从方法上看无限逼近.
圆的面积，圆柱体的体积的推导公式，均采用“化圆为方”“变曲为直”的极限分割思路，在“观察有限分割”的基础上“想象无限细分”；在循环小数的教学中，让学生比较０．９的循环与１的大小，通过检验体会任何一个循环小数都可以改写成分数，从而使学生萌发无限逼近的极限思想.
２. 数形结合思想
“数形结合”就是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维与抽象思维的协调发展. 它是教材编排的重要原则，更是解决问题时常用的方式. 教材中数形结合思想的主要应用有：① 图文共赏，丰富想象. 这在新课程实验教材中体现尤为明显，如每一个单元都配有主题图，整册教材都有小精灵的指引等. ② 以形助思，化难为易. 如用画线段图的方法来解决问题，就是用图形来代替数量关系的一种方法. ③ 以数帮形，由浅知深. 如通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等. ④ 数形沟通，开发智能.
３. 符号化思想
数学离不开符号，就像鱼儿离不开水一样，英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”. 数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展. 现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透. 从一年级就开始出现用（ ）、□代替元符号x，让学生在其中填数；到了三、四年级就出现了用字母表示数，用字母公式表示运算定律，面积计算方法，并有了求未知数x. 到了五六年级，出现了列方程解应用题等.
４. 统计思想
数据处理方法随着现代化的发展进程，越来越深入到社会生活的各个领域. 小学数学中的统计图表是最基本的统计方法，但各个阶段它的侧重点有所不同.
低、中年级：在教材中渗透统计初步知识，简单统计、收集简单数据，填写统计表，平均数问题.
高年级：百分数统计图表集中渗透统计思想，从收集原始数据到科学整理归类、制作统计表，揭示规律，在解题中领会统计思想.
５. 化归思想
化归是解决数学问题常用的思想方法，它的核心是：以可变的观点对所要解决的问题进行变形，教学时经常用到它. 如小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法，异分母分数加减法化归为同分母分数加减法. 在教学平面图形求积公式中，就以化归思想实现长方形、正方形、三角形、梯形、圆的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善学生的认识结构.
事实上小学数学教材中，除了较多地渗透了上述数学思想方法外. 在概念的引入、结论的得出时，大都经历了对特殊事例的观察、比较、分析、综合、归纳、概括等步骤，这样突出了数学思想方法渗透的过程性，延缓了概念形成的过程及结论推导的过程，从而有效地避免了把数学教学当作知识结论来灌输的弊病，有助于学生从小逐步形成良好的思考方法.
诚然，要使学生真正具备有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到的，它需要我们教师的智慧与持之以恒的不懈努力，力求做到三个“重”：
１. 在思想上重体现
教师以什么样的态度面对学生，决定着学生的成长；教师有怎样的教学理念，决定着他的教学行为. 加强数学思想方法教学，首先需要教师在思想上高度重视，要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施，教学效果的落实等各个方面来体现数学思想方法，使每节课的教学获得和谐的统一. 同一道练习，同一堂课，可以这样上，也可以那样上，关键还在于教师用怎样的一种心态去对待. 因而在备课时教师就要做到：必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘，在课堂上进行落实.
２. 在教学中重落实
数学教学是揭示数学思维过程的活动，在教学中教师要充分展现知识的形成发展过程，挖掘其中蕴含的丰富的数学思想方法，揭示思想方法在知识的互相联系、互相沟通中的纽带作用. 数学教学中的重点，往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处；数学教学中的难点，往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关，因此，教师要特别注意把握时机，适时运用. 数学教学中的课堂小结、阶段复习、练习，往往就是对某种数学思想方法进行揭示概括和强化的最佳时期，这时教师可根据教学需要，做到数学思想方法该露脸时就露脸，对其进行提炼、归纳和概括，使之明朗化，明确化.
3. 在方法上重指导
学有学法，但无定法. 数学思想方法是静态的，而方法的实施是动态的，某一数学思想方法何时用，为何用，如何用，这是个非常灵活的策略问题. 首先教师要特别注意数学思想方法在解决典型问题中的运用；其次教师要通过一题多解的练习，培养学生思维的发展性、灵活性、批判性.
在课堂上进行数学思想方法教学，只有教师在思想上重体现，教学上重落实，方法上重指导，这样才能使我们的数学课堂更具数学味，学生的数学素养才能够得到全面提升！