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摘要 本文从数学的不同角度谈述了数学中美学的特质。目的是改变人们对数学是一门枯燥无味、单调烦难、阳春白雪式的课程的普遍看法,让人们感受到数学其实也是春天里的一朵璀璨的花。数学与我们的生活可以说是息息相关、形影相随的。我们只有耐性地去挖掘它,才能激发对数学的兴趣。
关键词 智慧美 自然性美 实用性美
在现代社会生活中数学作为一门学科是举足轻重的,不管它是在自然科学还是人文科学领域它都发挥了重要的作用。正像马克思所说的:“一门学科只有当它达到能够成功地运用数学时,才算是真正发展了”。当一位友人问物理学家伦琴:“科学家需要什么样的修养”时,他回答说:“第一是数学,第二是数学,第三还是数学”。可见数学对一位成功的科学家来讲,位置有多重要。然而,数学作为一门必修的课程对很多人来说只是一门枯燥、单调的应试科目,很少有人把它当作一门美学、或是艺术来欣赏。其实数学中的美无处不在,只要用美学、艺术的眼光去看,你就会发现它也是一朵带刺而璀璨的花。
数学的美是多角度的,多层次的。首先,数学充满了逻辑的思维,具有智慧美。其次,数学具有自然性的简洁美、和谐美、形式美、奇异美等。最后,数学具有无比广泛的实用性、可拓性、融合性美。
一 数学的逻辑思维美、智慧美
人的思维形式有三种:形象思维、逻辑思维和灵感思维。而其中尤以灵感思维为难得,它一般在平时并不出现,只有当人们在相关创造性的形象思维或逻辑思维达到一定交织而紧张时才会出现,往往这时候就会产生智慧的火花。我们经常说做事要有数量观点,统筹观点,程序化观点,空间观点,相互联系观点(函数观点)等正是数学的思维。这许多不泛充满了数学无比的智慧美。下面可举一两个例子以窥管斑。
有一个老人在临终前把17头骆驼分给他的三个儿子:老大占全部的一半,老二占三分之一,老三占九分之一。可三个儿子想了半天也想不出怎么才能把17头骆驼按遗嘱均分掉。正在犯愁时,他们看见一个老者牵着一头骆驼走过来,于是就请教了他。只见那位老者略为思索了一下,就把自己的骆驼牵给了三位兄弟,然后叫他们把18头骆驼按遗嘱分。老大分得9头,老二分得6头,老三分得2头,剩下一头刚好是老者自己的。三个兄弟看着老者牵着骆驼走的背影在惊叹中啧啧称赞。
在世界数学发展史上,人们会把18世纪称为“欧拉时代”,这当然是因为欧拉本人对数学做出了杰出的、超人的贡献。大家知道欧拉不仅解决了著名的七桥问题同时也是拓扑学的鼻祖。所谓“七桥问题”是说一个人怎样才能一次走过七座桥,而且每座桥只经过一次,最后又回到出发点。通过实践,欧拉猜想这样的走法是不是根本就不存在呢?欧拉对这—猜想埋头进行了论证。他先用“穷举法”把所有可能的走法列成表格,逐一检查哪种走法能行得通,可这太困难了,要列出5040条路线来!于是他换了一种思维方式,想到了莱布尼茨的“位置几何学”。首先,他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、c、D四个点,把每座桥都看成一条线,这样一来,七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了,即所谓网络。于是问题就转化为:“从四个点中某一点出发,能否一笔把这个网络画出来?”根据欧拉深入的研究:一个网络如果能一笔画出,那么该网络奇点的个数或者是2或者是0,除此之外都画不出来。由于七桥问题中的A,B、C、D四个点都是奇点,这意味着一个人无法没有重复地走遍七座桥。
现实中像欧拉巧妙运用数学工具解决“七桥问题”的例证举不胜举。诸如:测量太阳高度、地球直径,解决围栏问题,选择最优方案等等,这些无不散发出数学的智慧美。在中小学的数学学习过程中,往往会碰到数形结合、一题多解、归纳与演绎证明,反证法等等,当你巧妙地解决一道难题后,你就会灵感到了自己拥有了数学的智慧,那是一件多快乐的事。
二 数学的简洁美、和谐美,形式美,奇异美
数学是抽象的、理性的所以它是高度概括的、简洁严谨的,它的内容又是非常和谐的、形式非常审美的。而在数学中人们对于简洁的追求是永无止境的:建立公理体系人们试图找出最少的几条,命题的证明人们力求严谨、简练-计算的方法尽量便捷、明快;……总之,数学拒绝繁冗。数学简洁的另一大特点就是数学语言?——符号的应用。阿拉伯数字的记数符号,字母未知数的方程表示,加减乘除以及其它的运算符号的规范通用等等,数学的公理、定义,定理都在力求每个字的意义,不多余一个字。比如,数学公式本身就是种神奇的形式美,它似乎放之四海而皆准,这也可谓数学的一大和谐。再比如,五个最重要的“数”:0,1,,e和i竟然可以用一个公式联系在一起:“形式多美观,元素多和谐!再看下面几个等式:1 2=3;;;81=;;……这些数字的形式之美和奇异之处真是让人惊叹不已。在数学的王国里要想找出这样的惊叹真是举不胜举。如,完全数6,2 8,496……;亲和数220和284,17296和18416……。
这些数字和等式何其美妙,让人在惊异中不知不觉地感受到数学仿佛冥冥中就那样的和谐有趣。这种和谐有趣、奇特、美观不是偶然、个别少有的而是数学内在的许多规律表现使然,所以数学的这种发现层出不穷,如著名的哥德巴赫猜想、叙拉古猜想、费尔马猜想……。这样我们就可以在有趣中得到学习和运用。比如:个位数是5的两位整数,要算它的平方有个简单的方法:让十位数乘以比本身大1的数字,然后在其积后面加上25,结果就是正确答案。如,计算,首先3×4=12接着在右侧加上25。因此=1225,同样的。
总之,只要我们能用心去发现、掌握和利用好数学的这许许多多规律,用美的眼光去欣赏、靠近、研究,你就会被它的诸多美所吸引。
三 数学的实用性、可拓性、融合性美
数学作为一门学科,它的实用性早就为人们所共识,它在社会的各个领域所发挥的重要作用也已为人们所认同。1984g,美国一个专门机构提出过“扫除数学文盲”的口号,它说:“在现今这个科技发达的社会里,扫除数学文盲的任务已经代替了昔日扫除文盲的任务,而成为当今教育的主要任务。”是的,“科技是第一生产力”,而能够让许多科技实现生产力的关键就是数学,可以这么说,要是没有了数学做为后盾,那高科技也无从谈起。日常生活中我们用的电视、收音机、冰箱,洗衣机还有时下最时尚的电脑、手机,这些无不是数学理论的辉煌结晶。大家知道我们电脑是利用了数学中二进制的逻辑用语,所有计算机和计算机软件都必须读懂它才能转换成人类语言,所以计算机科学家王选院说:“电子计算机=数学的心脏 机械的外壳”;而手机更是数学研究的杰作。在研究小提琴弦的振动时,瑞士大数学家欧拉建立了波动方程,从而不仅揭示了弦、空气、声音等振动的奥秘,而且也揭示出电与磁波的相同性质,由此发现了电与磁相互转换的可能。1895年,马可尼将电磁波用于信息传播,成功地拍出第一份无线电报。相继地, 利用数学波动方程的研究成果发明了雷达、电视、录象机……还有就是今天的手机。
试问当今数字社会中有哪样尖端产品能离开数学的参与?医学上的各种数字检验报告都需要数据分析的参与。还有先进的检测设备“CT扫描”也是数学的杰作。它是用x射线从不同角度照射人体,得到大量二维图象——x光分层照片,再运用数学技术“拉东变换”而得到了重组的人体内部组织的三维图像,从而发明了“CT扫描”的检测技术。这一技术的应用已经远远超出了医学领域,并取得了惊人的效果。比如,可以在大海中使用“CT扫描”技术,用声纳代替x光射线,通过声波在不同温度海水中传播速度的差异,来测定各点的海水温度的分布。
在天文学上,海王星的发现也是数学的经典应用。运用圆锥曲线、微积分理论,人们根据对某个行星几次观察记录就可以计算出它的运行轨道。天王星发现后40年,即1821年,法国天文学家布瓦尔德运用摄动理论的方法推测出天王星轨道外边还有一颗新的行星。后来在法国勒威耶和英国的亚当斯各自计算下,确定了这颗新星的位置,即海王星。
科学发展进程表明,数学已成为所有自然科学的公共基础和工具,同时也参与到了社会人文的各个领域:国民经济核算,数据分析。贸易统计,人口问题,天气预报,灾,情评估等等。
现代经济已经离不开数学,它几乎已经数学化和计量化了,没有数学的参与经济决策将无从下手,宏观调控将无的放矢。数学建模已成为经济研究、分析和判断的主要方法。2001年美国经济学家阿凯罗夫、斯派恩斯和斯提格尼兹因为应用数学建模对具有不对称信息的市场进行数学分析而获诺贝尔奖。
在人口问题的研究上,数学家们依据人口增减过程研究建立了人口增长的数学模型,并求得人口增长的数学表达式:其中表示当初人口数,c,k为待定常数(它依于不同地区、不同国家、不同时期的情况而变化)。
比如,从中国历年人口普查数字:
中选出1949,1953,1957三年人口数便可以从式中确定常数c和k,有了它便可预测未来的人口数。从公式可发现人口增长是按几何级数增加的,若人口的迅速增长不加以控制,则人类生存所必须的一切条件将处于危险中。这也为我国制订计划生育的国策提供了可靠的依据。
数学的这许许多多应用说明了数学具有无比的融合性,同时也体现了数学的和谐之美。虽然现代自然科学各个学科之间的融合越来越多,但一般说来,物理定律、化学定律、生物定律,彼此不通用和相互混用,自然科学的具体结论更不能直接搬到其他学科和社会科学中去。而数学的公式、原理、定理和结论不仅在自然科学中通行也能够在社会科学和我们日常生活中应用。所以现代科学分类把数学从自然科学中分离出来,与哲学、自然科学、社会科学等大学科并列。
数学跟其它学科—样具有无比的可拓性。每一次数学的发展,都代表了数学的相对真理向绝对真理前进了一步,而每一次碰到的困难也正是数学得以开枝散叶、向前延拓和发展的机会。最早前人们只会简单的算术、代数,而今数学分化林立,不但有代数学、几何学还有拓扑学、函数论、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、数学物理、概率论、组合数学等基础数学,还有数理统计、运筹学、控制论、模糊数学等应用数学。数学是在不断的应用中得到开拓和发展的,它已完全融合于我们社会生活的各个领域,所以数学之树的生命力是无限的,它也必将是长青的。
关键词 智慧美 自然性美 实用性美
在现代社会生活中数学作为一门学科是举足轻重的,不管它是在自然科学还是人文科学领域它都发挥了重要的作用。正像马克思所说的:“一门学科只有当它达到能够成功地运用数学时,才算是真正发展了”。当一位友人问物理学家伦琴:“科学家需要什么样的修养”时,他回答说:“第一是数学,第二是数学,第三还是数学”。可见数学对一位成功的科学家来讲,位置有多重要。然而,数学作为一门必修的课程对很多人来说只是一门枯燥、单调的应试科目,很少有人把它当作一门美学、或是艺术来欣赏。其实数学中的美无处不在,只要用美学、艺术的眼光去看,你就会发现它也是一朵带刺而璀璨的花。
数学的美是多角度的,多层次的。首先,数学充满了逻辑的思维,具有智慧美。其次,数学具有自然性的简洁美、和谐美、形式美、奇异美等。最后,数学具有无比广泛的实用性、可拓性、融合性美。
一 数学的逻辑思维美、智慧美
人的思维形式有三种:形象思维、逻辑思维和灵感思维。而其中尤以灵感思维为难得,它一般在平时并不出现,只有当人们在相关创造性的形象思维或逻辑思维达到一定交织而紧张时才会出现,往往这时候就会产生智慧的火花。我们经常说做事要有数量观点,统筹观点,程序化观点,空间观点,相互联系观点(函数观点)等正是数学的思维。这许多不泛充满了数学无比的智慧美。下面可举一两个例子以窥管斑。
有一个老人在临终前把17头骆驼分给他的三个儿子:老大占全部的一半,老二占三分之一,老三占九分之一。可三个儿子想了半天也想不出怎么才能把17头骆驼按遗嘱均分掉。正在犯愁时,他们看见一个老者牵着一头骆驼走过来,于是就请教了他。只见那位老者略为思索了一下,就把自己的骆驼牵给了三位兄弟,然后叫他们把18头骆驼按遗嘱分。老大分得9头,老二分得6头,老三分得2头,剩下一头刚好是老者自己的。三个兄弟看着老者牵着骆驼走的背影在惊叹中啧啧称赞。
在世界数学发展史上,人们会把18世纪称为“欧拉时代”,这当然是因为欧拉本人对数学做出了杰出的、超人的贡献。大家知道欧拉不仅解决了著名的七桥问题同时也是拓扑学的鼻祖。所谓“七桥问题”是说一个人怎样才能一次走过七座桥,而且每座桥只经过一次,最后又回到出发点。通过实践,欧拉猜想这样的走法是不是根本就不存在呢?欧拉对这—猜想埋头进行了论证。他先用“穷举法”把所有可能的走法列成表格,逐一检查哪种走法能行得通,可这太困难了,要列出5040条路线来!于是他换了一种思维方式,想到了莱布尼茨的“位置几何学”。首先,他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、c、D四个点,把每座桥都看成一条线,这样一来,七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了,即所谓网络。于是问题就转化为:“从四个点中某一点出发,能否一笔把这个网络画出来?”根据欧拉深入的研究:一个网络如果能一笔画出,那么该网络奇点的个数或者是2或者是0,除此之外都画不出来。由于七桥问题中的A,B、C、D四个点都是奇点,这意味着一个人无法没有重复地走遍七座桥。
现实中像欧拉巧妙运用数学工具解决“七桥问题”的例证举不胜举。诸如:测量太阳高度、地球直径,解决围栏问题,选择最优方案等等,这些无不散发出数学的智慧美。在中小学的数学学习过程中,往往会碰到数形结合、一题多解、归纳与演绎证明,反证法等等,当你巧妙地解决一道难题后,你就会灵感到了自己拥有了数学的智慧,那是一件多快乐的事。
二 数学的简洁美、和谐美,形式美,奇异美
数学是抽象的、理性的所以它是高度概括的、简洁严谨的,它的内容又是非常和谐的、形式非常审美的。而在数学中人们对于简洁的追求是永无止境的:建立公理体系人们试图找出最少的几条,命题的证明人们力求严谨、简练-计算的方法尽量便捷、明快;……总之,数学拒绝繁冗。数学简洁的另一大特点就是数学语言?——符号的应用。阿拉伯数字的记数符号,字母未知数的方程表示,加减乘除以及其它的运算符号的规范通用等等,数学的公理、定义,定理都在力求每个字的意义,不多余一个字。比如,数学公式本身就是种神奇的形式美,它似乎放之四海而皆准,这也可谓数学的一大和谐。再比如,五个最重要的“数”:0,1,,e和i竟然可以用一个公式联系在一起:“形式多美观,元素多和谐!再看下面几个等式:1 2=3;;;81=;;……这些数字的形式之美和奇异之处真是让人惊叹不已。在数学的王国里要想找出这样的惊叹真是举不胜举。如,完全数6,2 8,496……;亲和数220和284,17296和18416……。
这些数字和等式何其美妙,让人在惊异中不知不觉地感受到数学仿佛冥冥中就那样的和谐有趣。这种和谐有趣、奇特、美观不是偶然、个别少有的而是数学内在的许多规律表现使然,所以数学的这种发现层出不穷,如著名的哥德巴赫猜想、叙拉古猜想、费尔马猜想……。这样我们就可以在有趣中得到学习和运用。比如:个位数是5的两位整数,要算它的平方有个简单的方法:让十位数乘以比本身大1的数字,然后在其积后面加上25,结果就是正确答案。如,计算,首先3×4=12接着在右侧加上25。因此=1225,同样的。
总之,只要我们能用心去发现、掌握和利用好数学的这许许多多规律,用美的眼光去欣赏、靠近、研究,你就会被它的诸多美所吸引。
三 数学的实用性、可拓性、融合性美
数学作为一门学科,它的实用性早就为人们所共识,它在社会的各个领域所发挥的重要作用也已为人们所认同。1984g,美国一个专门机构提出过“扫除数学文盲”的口号,它说:“在现今这个科技发达的社会里,扫除数学文盲的任务已经代替了昔日扫除文盲的任务,而成为当今教育的主要任务。”是的,“科技是第一生产力”,而能够让许多科技实现生产力的关键就是数学,可以这么说,要是没有了数学做为后盾,那高科技也无从谈起。日常生活中我们用的电视、收音机、冰箱,洗衣机还有时下最时尚的电脑、手机,这些无不是数学理论的辉煌结晶。大家知道我们电脑是利用了数学中二进制的逻辑用语,所有计算机和计算机软件都必须读懂它才能转换成人类语言,所以计算机科学家王选院说:“电子计算机=数学的心脏 机械的外壳”;而手机更是数学研究的杰作。在研究小提琴弦的振动时,瑞士大数学家欧拉建立了波动方程,从而不仅揭示了弦、空气、声音等振动的奥秘,而且也揭示出电与磁波的相同性质,由此发现了电与磁相互转换的可能。1895年,马可尼将电磁波用于信息传播,成功地拍出第一份无线电报。相继地, 利用数学波动方程的研究成果发明了雷达、电视、录象机……还有就是今天的手机。
试问当今数字社会中有哪样尖端产品能离开数学的参与?医学上的各种数字检验报告都需要数据分析的参与。还有先进的检测设备“CT扫描”也是数学的杰作。它是用x射线从不同角度照射人体,得到大量二维图象——x光分层照片,再运用数学技术“拉东变换”而得到了重组的人体内部组织的三维图像,从而发明了“CT扫描”的检测技术。这一技术的应用已经远远超出了医学领域,并取得了惊人的效果。比如,可以在大海中使用“CT扫描”技术,用声纳代替x光射线,通过声波在不同温度海水中传播速度的差异,来测定各点的海水温度的分布。
在天文学上,海王星的发现也是数学的经典应用。运用圆锥曲线、微积分理论,人们根据对某个行星几次观察记录就可以计算出它的运行轨道。天王星发现后40年,即1821年,法国天文学家布瓦尔德运用摄动理论的方法推测出天王星轨道外边还有一颗新的行星。后来在法国勒威耶和英国的亚当斯各自计算下,确定了这颗新星的位置,即海王星。
科学发展进程表明,数学已成为所有自然科学的公共基础和工具,同时也参与到了社会人文的各个领域:国民经济核算,数据分析。贸易统计,人口问题,天气预报,灾,情评估等等。
现代经济已经离不开数学,它几乎已经数学化和计量化了,没有数学的参与经济决策将无从下手,宏观调控将无的放矢。数学建模已成为经济研究、分析和判断的主要方法。2001年美国经济学家阿凯罗夫、斯派恩斯和斯提格尼兹因为应用数学建模对具有不对称信息的市场进行数学分析而获诺贝尔奖。
在人口问题的研究上,数学家们依据人口增减过程研究建立了人口增长的数学模型,并求得人口增长的数学表达式:其中表示当初人口数,c,k为待定常数(它依于不同地区、不同国家、不同时期的情况而变化)。
比如,从中国历年人口普查数字:
中选出1949,1953,1957三年人口数便可以从式中确定常数c和k,有了它便可预测未来的人口数。从公式可发现人口增长是按几何级数增加的,若人口的迅速增长不加以控制,则人类生存所必须的一切条件将处于危险中。这也为我国制订计划生育的国策提供了可靠的依据。
数学的这许许多多应用说明了数学具有无比的融合性,同时也体现了数学的和谐之美。虽然现代自然科学各个学科之间的融合越来越多,但一般说来,物理定律、化学定律、生物定律,彼此不通用和相互混用,自然科学的具体结论更不能直接搬到其他学科和社会科学中去。而数学的公式、原理、定理和结论不仅在自然科学中通行也能够在社会科学和我们日常生活中应用。所以现代科学分类把数学从自然科学中分离出来,与哲学、自然科学、社会科学等大学科并列。
数学跟其它学科—样具有无比的可拓性。每一次数学的发展,都代表了数学的相对真理向绝对真理前进了一步,而每一次碰到的困难也正是数学得以开枝散叶、向前延拓和发展的机会。最早前人们只会简单的算术、代数,而今数学分化林立,不但有代数学、几何学还有拓扑学、函数论、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、数学物理、概率论、组合数学等基础数学,还有数理统计、运筹学、控制论、模糊数学等应用数学。数学是在不断的应用中得到开拓和发展的,它已完全融合于我们社会生活的各个领域,所以数学之树的生命力是无限的,它也必将是长青的。