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摘要：无论站在大学的视野、中学的视野、还是小学的视野、又或者低年级孩子的视野，数学建模的本质，正在于它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程。小学数学教学中的建模，就是不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。本文试从三个教学片段来尝试说明如何在低年级课堂中建立数学模型。
关键词：方法模型 结构模型 概念模型
中图分类号：G623.5
有个相声这么评判解决问题中的工程问题：
甲：你说小学六年级，你弄那么难的功课干吗？问：说一大水池子，大水池子要灌水。要是开灌水管儿的话，十五个小时给弄满了；要开那个排水管的话呀，二十四个小时排完。问俩管子一起开，几小时灌满？你这不吃饱了撑的吗？
乙：怎么啦？
甲：国家水那么紧张，你灌水放那排水管子干什么呀？
确实有人质疑：日常生活中，有谁会同时打开进水管和出水管呢？其实用一种模型的观念来审视：家庭的收入和支出、地铁站人们的进出站检票问题不就和水池的进水出水是同一个模型吗？情境、素材只是表面的，模型才是最为根本的。
数学建模是构建数学模型并用它解决问题这一过程的简称。正如2011版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。” 其实，数学建模及教学研究在大学开展得较多，在中学中开展数学建模还处于探索阶段。在小学阶段来研究数学建模是否可行？在小学阶段尤其是低年级课堂中，如何开展“数学建模”活动？我们面临很多挑战。
我以为，小学数学教学中的建模，就是不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。本文试从三个教学片段来尝试说明如何在低年级课堂中建立数学模型。
一、在举例中建立方法模型
【教学片断】苏教版一年级下册《比较数的大小》
1、探究十位不同的两位数如何比大小。
师；你知道46和37，谁比较大吗？
生：46>37
师：你是怎么比的呢？
生：46里面有4个十，37里面只有3个十，所以46大于37。
师：说的真好。这是四十多（课件：4□），这是三十多（课件：3□）你知道谁大吗？
生：4□>3□
师：你能举出一些例子吗？
生：42>39
生：41>36
师：能不能举出一个例子4□不是大于3□？为什么？
师：那你还知道四十多还大于几十多吗？（课件：4□〉□□）
生：四十多大于二十多，一十多。
师：真聪明，你还能想到什么？几十多也大于三十多呢？（课件：□□〉3□）。
生：只要十位比三大就行了。
师：你终于发现比较两位数大小的方法了。
在这个片断中，教师并没有文本刻板地揭示：“比较两位数的大小，十位上大的那个数比较大”，而是通过一系列的比较，不断地抽象，进行了具体层面上的举例验证，为以后三位数、多位数的比较数的大小打下基础，更重要的是渗透了初步的数学建模思想。举例的过程是去取值范围不断扩大的过程，是学生经验与积累的过程，是学生思维从无序到有序、有具体到抽象、从感性到理性思考的过程，这个过程是逐步数学化的过程，是建构比较方法的过程，是建模的过程。
尤为值得称赞的是，这个建模过程相当自然，也甚为贴切低年级学生的数学学习特点——由具体、形象的实例开始，不断地将实例的范围扩大，建立了适合一年级学生理解的方法模型。这种模型没有文本化，没有符号化，而是感性的，同时也是有一定的概括性。
二、在操作中建立关系模型
【教学片断】苏教版 二年级下册 《求比一个数多几少几的数》
1、学生通过观察找出数学信息，并提出数学问题。
小英摆了11个花片，小华比小英多摆3个，小华摆了多少个花片？
师：不如我们也来像他们一样摆一摆花片吧。先想一想你准备先摆谁？小华的花片你准备怎么摆？
生操作后汇报。
师：你先摆谁？怎么摆的？
生：我先摆的是小英的。摆11个。
师：那小华的是怎么摆的？
生：先和小英摆一样多，再摆三个。
师动画演示
师：小华摆了多少个？你是怎么知道的？
生1：我是数的。
生2：可以从11接着数下去。
生3：我是列式计算的：11+3=14（个）
师：为什么用11+3=14？
生：小华比小英多三个，要先和小英摆一样多，再摆三个，所以小华摆了14个花片。
2、师：如果小方比小英多摆4个，小方应该怎么摆？要摆多少个呢？
生：11+4=15（个）
师：怎么想的？
生：小华比小英多4个，要先和小英摆一样多，再加上4个，所以小华摆了15个花片。
3、师：小丽比小英多摆8个，你能不摆花片，说一说小丽的花片应该怎么摆？怎么算小丽摆的个数？
同桌讨论后汇报。
4、师：小伟比小英多摆★个，小伟怎么摆的？你能用式子表示小伟摆了多少个吗？
这节课中操作分为以下几个层次：操作的第一层次，理解谁是比较的标准以及通过操作直观呈现对“小华比小英多摆3个”的意思，体会小华画片的个数是与两部分组成的。第二层次，进一步感知积累类似经验。第三层次，摆脱直观，利用表象思维。第四层次，抽象出关系，建立模型。 通过“小华多的个数”、“小方的个数”等不同变式的呈现，使学生初步感知比一个数多几的 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成求比一个数多几及其解题策略体系“就用这个数加几”，初步建构数学模型。引导学生不停变换题型，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构比一个数多几的关系模型也便水到渠成了。
三、在比较中建立概念模型
【教学片断】苏教版 三年级下册《认识分数》
1、 分4个苹果
师：（出示课件）
把一盘苹果平均分成2份，每份是这盘苹果的几分之几？
生：
师：盘子里几个苹果还不知道呢，你们为什么都认为每份是这一盘的 ？
生：因为是把这盘苹果平均分成了2份，每一份就是这盘苹果的 。
师：想知道盘子里几个苹果吗？出示课件并填空。
2、分6个苹果和分12个苹果
第二次分6个苹果与第一次分4个苹果的处理方法相同，教师采取先不出示苹果的个数，用遮挡的方法加强一盘苹果整体性，得出“每份是一盘苹果的 ”结论之后再掀开幕布，进一步积累类似经验。
第三次分苹果则采取是直接出示12个，让学生平均分成两份，学生已有初步模型，不再遮挡也能将一盘苹果看成一个整体，得出“每份是一盘苹果的 ”。
3、3幅图集中呈现，在比较中求同存异，建立 的分数模型
师：刚才我们分了3盘苹果，这3盘苹果的个数一样吗？
生：一盘4个，一盘6个，一盘12个，不一样。
师：平均分后每份的个数一样吗？
生：不一样。
师：每盘苹果的总数不同，每份个数也不一样，为什么每份苹果都可以用 来表示呢？
生：它们都被平均分成了2份，只要平均分成2份，每份就是它们的 。
把一些物体平均分成几份的教学，教师并没有在一个例题上停住脚步，而是一次列举了三盘不同个数的苹果，分别是4个，6个，12个，这是在“存异”，在多个不同的案例中逐步清晰抽象出学生对二分之一的认识，但是精彩之处是最后的"求同"，为什么他们都可以用二分之一来表示？这个问题去除了二分之一所有非本质特征，保留了其本质特征：平均分成2份，从而建立了 这个分数的模型：只要平均分成2份，每份就是它们的二分之一。
这个模型的建立过程，这里我们没有给分数下定义，而是结合具体的例子，通过比较，在求同存异中让学生对 这个分数有一个新的认识，有了这样的理解，不光是在对 这个具体分数的层面上的认识，也是能够轻而易举推及对其他分数的认识的。
如上所述，数学建模的本质，在于它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程。从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。
低年级建模的尝试，让我们看到了数学的抽象美，感受到数学的深刻，学生从小就收到“数学化”的熏陶。不仅仅如此，学生在探索、获得数学模型的过程中，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。因为这不仅促进了孩子数学眼光、数学意识和数学素养的提升，关键还促进了一种数学品质的提升。
只有如此，数学才能深刻而持久地影响着孩子的学习和生活。
关键词：方法模型 结构模型 概念模型
中图分类号：G623.5
有个相声这么评判解决问题中的工程问题：
甲：你说小学六年级，你弄那么难的功课干吗？问：说一大水池子，大水池子要灌水。要是开灌水管儿的话，十五个小时给弄满了；要开那个排水管的话呀，二十四个小时排完。问俩管子一起开，几小时灌满？你这不吃饱了撑的吗？
乙：怎么啦？
甲：国家水那么紧张，你灌水放那排水管子干什么呀？
确实有人质疑：日常生活中，有谁会同时打开进水管和出水管呢？其实用一种模型的观念来审视：家庭的收入和支出、地铁站人们的进出站检票问题不就和水池的进水出水是同一个模型吗？情境、素材只是表面的，模型才是最为根本的。
数学建模是构建数学模型并用它解决问题这一过程的简称。正如2011版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。” 其实，数学建模及教学研究在大学开展得较多，在中学中开展数学建模还处于探索阶段。在小学阶段来研究数学建模是否可行？在小学阶段尤其是低年级课堂中，如何开展“数学建模”活动？我们面临很多挑战。
我以为，小学数学教学中的建模，就是不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。本文试从三个教学片段来尝试说明如何在低年级课堂中建立数学模型。
一、在举例中建立方法模型
【教学片断】苏教版一年级下册《比较数的大小》
1、探究十位不同的两位数如何比大小。
师；你知道46和37，谁比较大吗？
生：46>37
师：你是怎么比的呢？
生：46里面有4个十，37里面只有3个十，所以46大于37。
师：说的真好。这是四十多（课件：4□），这是三十多（课件：3□）你知道谁大吗？
生：4□>3□
师：你能举出一些例子吗？
生：42>39
生：41>36
师：能不能举出一个例子4□不是大于3□？为什么？
师：那你还知道四十多还大于几十多吗？（课件：4□〉□□）
生：四十多大于二十多，一十多。
师：真聪明，你还能想到什么？几十多也大于三十多呢？（课件：□□〉3□）。
生：只要十位比三大就行了。
师：你终于发现比较两位数大小的方法了。
在这个片断中，教师并没有文本刻板地揭示：“比较两位数的大小，十位上大的那个数比较大”，而是通过一系列的比较，不断地抽象，进行了具体层面上的举例验证，为以后三位数、多位数的比较数的大小打下基础，更重要的是渗透了初步的数学建模思想。举例的过程是去取值范围不断扩大的过程，是学生经验与积累的过程，是学生思维从无序到有序、有具体到抽象、从感性到理性思考的过程，这个过程是逐步数学化的过程，是建构比较方法的过程，是建模的过程。
尤为值得称赞的是，这个建模过程相当自然，也甚为贴切低年级学生的数学学习特点——由具体、形象的实例开始，不断地将实例的范围扩大，建立了适合一年级学生理解的方法模型。这种模型没有文本化，没有符号化，而是感性的，同时也是有一定的概括性。
二、在操作中建立关系模型
【教学片断】苏教版 二年级下册 《求比一个数多几少几的数》
1、学生通过观察找出数学信息，并提出数学问题。
小英摆了11个花片，小华比小英多摆3个，小华摆了多少个花片？
师：不如我们也来像他们一样摆一摆花片吧。先想一想你准备先摆谁？小华的花片你准备怎么摆？
生操作后汇报。
师：你先摆谁？怎么摆的？
生：我先摆的是小英的。摆11个。
师：那小华的是怎么摆的？
生：先和小英摆一样多，再摆三个。
师动画演示
师：小华摆了多少个？你是怎么知道的？
生1：我是数的。
生2：可以从11接着数下去。
生3：我是列式计算的：11+3=14（个）
师：为什么用11+3=14？
生：小华比小英多三个，要先和小英摆一样多，再摆三个，所以小华摆了14个花片。
2、师：如果小方比小英多摆4个，小方应该怎么摆？要摆多少个呢？
生：11+4=15（个）
师：怎么想的？
生：小华比小英多4个，要先和小英摆一样多，再加上4个，所以小华摆了15个花片。
3、师：小丽比小英多摆8个，你能不摆花片，说一说小丽的花片应该怎么摆？怎么算小丽摆的个数？
同桌讨论后汇报。
4、师：小伟比小英多摆★个，小伟怎么摆的？你能用式子表示小伟摆了多少个吗？
这节课中操作分为以下几个层次：操作的第一层次，理解谁是比较的标准以及通过操作直观呈现对“小华比小英多摆3个”的意思，体会小华画片的个数是与两部分组成的。第二层次，进一步感知积累类似经验。第三层次，摆脱直观，利用表象思维。第四层次，抽象出关系，建立模型。 通过“小华多的个数”、“小方的个数”等不同变式的呈现，使学生初步感知比一个数多几的 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成求比一个数多几及其解题策略体系“就用这个数加几”，初步建构数学模型。引导学生不停变换题型，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构比一个数多几的关系模型也便水到渠成了。
三、在比较中建立概念模型
【教学片断】苏教版 三年级下册《认识分数》
1、 分4个苹果
师：（出示课件）
把一盘苹果平均分成2份，每份是这盘苹果的几分之几？
生：
师：盘子里几个苹果还不知道呢，你们为什么都认为每份是这一盘的 ？
生：因为是把这盘苹果平均分成了2份，每一份就是这盘苹果的 。
师：想知道盘子里几个苹果吗？出示课件并填空。
2、分6个苹果和分12个苹果
第二次分6个苹果与第一次分4个苹果的处理方法相同，教师采取先不出示苹果的个数，用遮挡的方法加强一盘苹果整体性，得出“每份是一盘苹果的 ”结论之后再掀开幕布，进一步积累类似经验。
第三次分苹果则采取是直接出示12个，让学生平均分成两份，学生已有初步模型，不再遮挡也能将一盘苹果看成一个整体，得出“每份是一盘苹果的 ”。
3、3幅图集中呈现，在比较中求同存异，建立 的分数模型
师：刚才我们分了3盘苹果，这3盘苹果的个数一样吗？
生：一盘4个，一盘6个，一盘12个，不一样。
师：平均分后每份的个数一样吗？
生：不一样。
师：每盘苹果的总数不同，每份个数也不一样，为什么每份苹果都可以用 来表示呢？
生：它们都被平均分成了2份，只要平均分成2份，每份就是它们的 。
把一些物体平均分成几份的教学，教师并没有在一个例题上停住脚步，而是一次列举了三盘不同个数的苹果，分别是4个，6个，12个，这是在“存异”，在多个不同的案例中逐步清晰抽象出学生对二分之一的认识，但是精彩之处是最后的"求同"，为什么他们都可以用二分之一来表示？这个问题去除了二分之一所有非本质特征，保留了其本质特征：平均分成2份，从而建立了 这个分数的模型：只要平均分成2份，每份就是它们的二分之一。
这个模型的建立过程，这里我们没有给分数下定义，而是结合具体的例子，通过比较，在求同存异中让学生对 这个分数有一个新的认识，有了这样的理解，不光是在对 这个具体分数的层面上的认识，也是能够轻而易举推及对其他分数的认识的。
如上所述，数学建模的本质，在于它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程。从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。
低年级建模的尝试，让我们看到了数学的抽象美，感受到数学的深刻，学生从小就收到“数学化”的熏陶。不仅仅如此，学生在探索、获得数学模型的过程中，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。因为这不仅促进了孩子数学眼光、数学意识和数学素养的提升，关键还促进了一种数学品质的提升。
只有如此，数学才能深刻而持久地影响着孩子的学习和生活。