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【关键词】对称性运动；电磁学；发散性思维；灵感
对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。当用普通方法难以解决一些复杂问题时，利用对称法分析解决，往往可以避免复杂的数学演算和推导，出奇制胜，直接抓住问题的实质，从而快速简便地正确解答问题。
1. 电场中的运动对称性
【题例1】如ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动量最大（如图1）。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：
（1）电场方向与直线ac间的夹角θ？
（2）若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰能落在c点，则初动能为多少？
【方法与技巧剖析】（1）首先用对称性直接判断电场方向：由题设条件，在圆周平面内，从 a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同点，且以经c点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面，又据动能定理，电场力对到达c点的小球做功最多。
为Wac=qUac.因此，Uac最大，即c点的电势比圆周上的任何一点都低。
又因为圆周平面处在匀强电场中，故连Oc，圆周上各点电势关于Oc对称（或作过c点且与圆周相切的线cf,cf是等势线），Oc方向即为电场方向（如图2所示），其与直径ac夹角为θ=∠acO=∠cab=30°。
（2）小球在匀强电场中做类平抛运动.小球沿ad方向抛出，设其初速度为v0，小球质量为m，在垂直电场方向，有
ad=v0t, ①
在沿着电场线方向有
cd= 12at2=12qEm t2, ②
由几何关系可得
ac=2Rcosθ= 3R, ③
ad = ac·sinθ= 32R, ④
cd= ac·cosθ=32 R, ⑤
将③④⑤式代入①②两式并解得
v0=12qERm
所以Ek0= 12mv02= 12qER
【题例2】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图3所示。虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为-x0 ）时，速度与Ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在Ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度vy，随位置坐标x变化的示意图是：
【方法与技巧剖析】由于静电场的电场线与等势线垂直，且沿电场线电势依次降低，由此可判断Ox轴上方区域y轴左侧各点的场强方向斜向左上方，y轴右侧各点的场强方向斜向左下方。电子运动过程中，受到的电场力的水平分力沿x轴正方向，与初速方向相同，因此，电子在x方向上的分运动是加速运动，根据空间对称性，电子从x＝-x0 运动到 x=x0过程中，在y轴左侧运动时间比在y轴右侧运动的时间长。电子受到电场力的竖直分力先沿y轴负方向，后沿y轴正方向。因此电子在y方向上的分运动是先向下加速后向下减速，但由于时间的不对称性，减速时间比加速时间短，所以，当x=x0 时，vy 的方向应沿y轴负方向。正确答案为D（如图4）。
2. 磁场中的运动对称性
【题例3】如图5所示在一个半径为R的绝缘橡皮圆筒中有一个沿轴向的磁感应强度为B的匀强磁场，一个质量为m，带电量为q的带负电的粒子，在很小的缺口A处垂直磁场沿半径方向射入，带电粒子与圆筒碰撞时无动能损失，要使带电粒子在里面绕行一周后，恰从A处飞出，问入射的初速度的大小应满足什么条件？（重力不计）
【方法与技巧剖析】带电粒子在筒内碰一次从A处飞出是不可能的，因为带电粒子在磁场内不可能是直线运动的.如果带电粒子在圆筒内碰撞两次可以从A处飞出，譬如在B点、C点处两次再从A点飞出，如图6所示，由于带电粒子轨迹弧AB、BC、CA是对称的，当带电粒子在A点的速度是半径方向，则在B点的速度方向也是沿半径方向，同样在C点速度方向也是沿半径方向，最后从A点出来时的速度也沿半径方向出来。
设∠AOC=2θ，则2θ= 2π3，θ= 13π
又轨迹半径r=Rtanθ,由于qv0B=m v02r
∴v0= Bqrm= BqRtanθm= 3Bqrm
碰撞次数只要大于两次，均有可能从A处飞出，故v0的一般解为：设碰撞n次后射出，则有
θ= πn+1 v0=BqRm tanπn+1 (其中n=2,3,4……)
【题例4】如图7，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零，如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少?(不计重力，整个装置在真空中)
【方法与技巧剖析】设粒子射入磁场区的速度为v，根据能量守恒，有 12mv2＝qU ①
设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：
qBv=mv2R ②
由对称性可知，要回到S点，粒子从a到d必经过 34圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r0，
即R=r0 ③
由以上各式解得：U= qr0B22m
【题例5】如图8所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图9中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mvBq 。哪个图是正确的？ 【方法与技巧剖析】由于是许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。
在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。
①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到：Bqv= mv2R，解得R＝mvBq 。所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。
②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。
③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点O为转动点，以2R为直径从右扫到左的一片区域。即如图10所示。故A正确。
3. 电磁场中运动的对称性
【题例6】如图11所示，一静止的带电粒子q，质量为m（不计重力），从P点经电场E加速，经A点进入中间磁场B，方向垂直纸面向里，再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场B′（B′=B），方向垂直于纸面向外，然后能够按某一路径再由A返回电场并回到出发点P，然后再重复前述过程。已知 l为P到A的距离，求中间磁场的宽度d和粒子运动的周期。（虚线表示磁场的分界线）
【方法与技巧剖析】由粒子能“重复前述过程”，可知粒子运动具有周期性；又由粒子经过A点进入磁场后能够按某一路径再返回A点，可知的运动具有对称性。
粒子从A点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为R，过C点进入右边磁场，于做半径为R的匀速圆周运动经点F到点D，由于过D点后还做匀速圆周回到A（如下图12所示），故DA和CA关于直线OA对称，且OA垂直于磁场的分界线. 同理可知，OA也同时是CD圆弧的对称轴. 因此粒子的运动轨迹是关于直线OA对称的. 由于速度方向为切线方向，所以圆弧AC、CD、DA互相相切。
（1）设中间磁场宽度为d，粒子过A点的速度为 v，由圆周运动的对称性可得 R· sinθ=R-Rsinθ
则 θ=π6
带电粒子在加速电场中有 qEl= 12mv2 ①
在中间和右边磁场中有R=mvqB ②
d=Rcos θ ③
解①、②、③得 d=6QeLM2qB
（2）粒子运动周期T由三段时间组成，在电场中做匀变速直线运动的时间为t1，t1=22lmqE
在中间磁场中运动的时间为t2，因为AC所对圆心角为π3 ，所以
t2=2xπ3 2πT'=2xπ3 2π2πmqB=2πm3qB
在右边磁场中运动的时间为t3因为CD所对圆心角为53 π
所以 t3=53 π2πT'=53 π2π2πmqB=5πm3qB
所以周期为 T=t1+t2+t3=22lmqE+7πm3qB
由上可知，对称法作为一种重要的物理思想和方法，可以启发学生理解概念、掌握定律、激发灵感、优化方法、开拓思路、启迪智慧，从而培养分析问题、解决问题的直观思维能力和客观的猜想推理能力，使复杂问题的解决变得简单快捷，进而有效提升学生的学科素质和美学素质，在物理学的探究道路上登堂入室、尽享成功。
参考文献
［1］ 物理教育与素质教育 卢铁锋 中华工商联出版社1999，1
［2］ 可怕的对称－现代物理学中的美的探索 美A.热 著 熊昆 译 湖南科学技术出版社发行 1992.2
［3］ 高中物理竞赛培优教程 范小辉 浙江大学出版社 2004，7
［4］ 对称－中学物理思维方法丛书 王溢然 王秋明 大象出版社1999
［5］ 培优捷径 王溢然 束炳如 上海科技出版社 2004，5
对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。当用普通方法难以解决一些复杂问题时，利用对称法分析解决，往往可以避免复杂的数学演算和推导，出奇制胜，直接抓住问题的实质，从而快速简便地正确解答问题。
1. 电场中的运动对称性
【题例1】如ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动量最大（如图1）。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：
（1）电场方向与直线ac间的夹角θ？
（2）若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰能落在c点，则初动能为多少？
【方法与技巧剖析】（1）首先用对称性直接判断电场方向：由题设条件，在圆周平面内，从 a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同点，且以经c点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面，又据动能定理，电场力对到达c点的小球做功最多。
为Wac=qUac.因此，Uac最大，即c点的电势比圆周上的任何一点都低。
又因为圆周平面处在匀强电场中，故连Oc，圆周上各点电势关于Oc对称（或作过c点且与圆周相切的线cf,cf是等势线），Oc方向即为电场方向（如图2所示），其与直径ac夹角为θ=∠acO=∠cab=30°。
（2）小球在匀强电场中做类平抛运动.小球沿ad方向抛出，设其初速度为v0，小球质量为m，在垂直电场方向，有
ad=v0t, ①
在沿着电场线方向有
cd= 12at2=12qEm t2, ②
由几何关系可得
ac=2Rcosθ= 3R, ③
ad = ac·sinθ= 32R, ④
cd= ac·cosθ=32 R, ⑤
将③④⑤式代入①②两式并解得
v0=12qERm
所以Ek0= 12mv02= 12qER
【题例2】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图3所示。虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为-x0 ）时，速度与Ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在Ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度vy，随位置坐标x变化的示意图是：
【方法与技巧剖析】由于静电场的电场线与等势线垂直，且沿电场线电势依次降低，由此可判断Ox轴上方区域y轴左侧各点的场强方向斜向左上方，y轴右侧各点的场强方向斜向左下方。电子运动过程中，受到的电场力的水平分力沿x轴正方向，与初速方向相同，因此，电子在x方向上的分运动是加速运动，根据空间对称性，电子从x＝-x0 运动到 x=x0过程中，在y轴左侧运动时间比在y轴右侧运动的时间长。电子受到电场力的竖直分力先沿y轴负方向，后沿y轴正方向。因此电子在y方向上的分运动是先向下加速后向下减速，但由于时间的不对称性，减速时间比加速时间短，所以，当x=x0 时，vy 的方向应沿y轴负方向。正确答案为D（如图4）。
2. 磁场中的运动对称性
【题例3】如图5所示在一个半径为R的绝缘橡皮圆筒中有一个沿轴向的磁感应强度为B的匀强磁场，一个质量为m，带电量为q的带负电的粒子，在很小的缺口A处垂直磁场沿半径方向射入，带电粒子与圆筒碰撞时无动能损失，要使带电粒子在里面绕行一周后，恰从A处飞出，问入射的初速度的大小应满足什么条件？（重力不计）
【方法与技巧剖析】带电粒子在筒内碰一次从A处飞出是不可能的，因为带电粒子在磁场内不可能是直线运动的.如果带电粒子在圆筒内碰撞两次可以从A处飞出，譬如在B点、C点处两次再从A点飞出，如图6所示，由于带电粒子轨迹弧AB、BC、CA是对称的，当带电粒子在A点的速度是半径方向，则在B点的速度方向也是沿半径方向，同样在C点速度方向也是沿半径方向，最后从A点出来时的速度也沿半径方向出来。
设∠AOC=2θ，则2θ= 2π3，θ= 13π
又轨迹半径r=Rtanθ,由于qv0B=m v02r
∴v0= Bqrm= BqRtanθm= 3Bqrm
碰撞次数只要大于两次，均有可能从A处飞出，故v0的一般解为：设碰撞n次后射出，则有
θ= πn+1 v0=BqRm tanπn+1 (其中n=2,3,4……)
【题例4】如图7，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零，如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少?(不计重力，整个装置在真空中)
【方法与技巧剖析】设粒子射入磁场区的速度为v，根据能量守恒，有 12mv2＝qU ①
设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：
qBv=mv2R ②
由对称性可知，要回到S点，粒子从a到d必经过 34圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r0，
即R=r0 ③
由以上各式解得：U= qr0B22m
【题例5】如图8所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图9中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mvBq 。哪个图是正确的？ 【方法与技巧剖析】由于是许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。
在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。
①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到：Bqv= mv2R，解得R＝mvBq 。所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。
②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。
③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点O为转动点，以2R为直径从右扫到左的一片区域。即如图10所示。故A正确。
3. 电磁场中运动的对称性
【题例6】如图11所示，一静止的带电粒子q，质量为m（不计重力），从P点经电场E加速，经A点进入中间磁场B，方向垂直纸面向里，再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场B′（B′=B），方向垂直于纸面向外，然后能够按某一路径再由A返回电场并回到出发点P，然后再重复前述过程。已知 l为P到A的距离，求中间磁场的宽度d和粒子运动的周期。（虚线表示磁场的分界线）
【方法与技巧剖析】由粒子能“重复前述过程”，可知粒子运动具有周期性；又由粒子经过A点进入磁场后能够按某一路径再返回A点，可知的运动具有对称性。
粒子从A点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为R，过C点进入右边磁场，于做半径为R的匀速圆周运动经点F到点D，由于过D点后还做匀速圆周回到A（如下图12所示），故DA和CA关于直线OA对称，且OA垂直于磁场的分界线. 同理可知，OA也同时是CD圆弧的对称轴. 因此粒子的运动轨迹是关于直线OA对称的. 由于速度方向为切线方向，所以圆弧AC、CD、DA互相相切。
（1）设中间磁场宽度为d，粒子过A点的速度为 v，由圆周运动的对称性可得 R· sinθ=R-Rsinθ
则 θ=π6
带电粒子在加速电场中有 qEl= 12mv2 ①
在中间和右边磁场中有R=mvqB ②
d=Rcos θ ③
解①、②、③得 d=6QeLM2qB
（2）粒子运动周期T由三段时间组成，在电场中做匀变速直线运动的时间为t1，t1=22lmqE
在中间磁场中运动的时间为t2，因为AC所对圆心角为π3 ，所以
t2=2xπ3 2πT'=2xπ3 2π2πmqB=2πm3qB
在右边磁场中运动的时间为t3因为CD所对圆心角为53 π
所以 t3=53 π2πT'=53 π2π2πmqB=5πm3qB
所以周期为 T=t1+t2+t3=22lmqE+7πm3qB
由上可知，对称法作为一种重要的物理思想和方法，可以启发学生理解概念、掌握定律、激发灵感、优化方法、开拓思路、启迪智慧，从而培养分析问题、解决问题的直观思维能力和客观的猜想推理能力，使复杂问题的解决变得简单快捷，进而有效提升学生的学科素质和美学素质，在物理学的探究道路上登堂入室、尽享成功。
参考文献
［1］ 物理教育与素质教育 卢铁锋 中华工商联出版社1999，1
［2］ 可怕的对称－现代物理学中的美的探索 美A.热 著 熊昆 译 湖南科学技术出版社发行 1992.2
［3］ 高中物理竞赛培优教程 范小辉 浙江大学出版社 2004，7
［4］ 对称－中学物理思维方法丛书 王溢然 王秋明 大象出版社1999
［5］ 培优捷径 王溢然 束炳如 上海科技出版社 2004，5