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同学们在学习中要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学知识的精髓，是解题的指导思想.初中阶段常用的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、整体思想、化归思想、建模思想等.
一、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分类解决，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”，从而获得完整的解答.
例1 甲、乙两地相距450千米，两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知快车的速度为120千米/时，慢车的速度为80千米/时，问经过多少小时两车相距50千米？
分析：此题是典型的行程问题，解题时，要注意利用分类讨论思想，分两车相遇前或相遇后相距50千米两种情况进行求解.
解：设经过x小时两车相距50千米，分两种情况进行讨论：
（1）相遇前两车相距50千米，
则有（120+80）x+50=450，解得x=2；
（2）相遇后两车相距50千米，
则有（120+80）x-50=450，解得x=2.5.
答：经过2小时或2.5小时两车相距50千米.
点评：解答此题，很多同学往往只考虑第（1）种情况，而忽略了第（2）种情况，主要是没有重视分类思想.
二、数形结合思想
数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到几何问题中，也可以用图形来解决代数问题.
例2 如图1，直线y=-■x+4与y轴交于点A，与直线y=■x+■交于点B，且直线y=■x+■与x轴交于点C，则△ABC的面积为 .
分析：设直线y=-■x+4与x轴交于点D.要求△ABC的面积，通过观察分析图形，只要能分别求出△ACD和△BCD的面积再相减即可，而由已知条件，结合图形的特点可以分别求出A、B、C、D的坐标，从而可以求解.
解：设直线y=-■x+4与x轴交于点D.而直线y=-■x+4与y轴交于点A，所以点A的坐标为（0，4），点D的坐标为（3，0），又直线y= -■x+4与直线y=■x+■交于点B，所以联立方程组可以求得点B的坐标为（■，2），因为直线y=■x+■与x轴交于点C，所以点C的坐标为（-1，0），所以CD=4.所以△ACD的面积为 ■CD×OA=■×4×4=8，△BCD的面积为 ■CD×B点的纵坐标=■×4×2=4，即△ABC的面积为8-4=4.
点评：利用数形结合的思想方法求解一定要充分发挥数与形各自的优势，不停地进行数与形之间的交换，从而做到方便、快捷、正确地求解. 图1
三、方程思想
有很多问题适合用方程求解，根据已知、所求的问题及有关的定义、性质等，设出适当的未知数并建立方程，进而解决问题，这是一种重要的思维方式.
例3 如图2，有一块边长1米的正方形钢板，被裁去长为■米、宽为■米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？
图2 图3
分析：本题是一道与正方形裁剪有关的操作性问题，解决问题首先要画出草图，然后从图形中寻找解决问题的模型，如何剪裁使得该正方形面积最大，实际上是确定正方形顶点的位置，可借助相似三角形的性质构造方程解决.
解：如图3，设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH过点P.设 AH =x，则BE=AH=x，AE=1-x.
∵MP//AH，∴△EMP∽△EAH，
∴■=■.
整理得12x2-11x+2=0.
解得x1=■，x2=■.
当x=■时，S正方形EFGH=（■）2+（1-■）2=■.
当x=■时，
S正方形EFGH=（■）2+（1-■）2=■<■.
∴当BE=DG=■米，BF=DH=■米时，裁下正方形面积最大，面积为■平方米.
四、整体思想
所谓整体思想，就是解决某些数学问题时有意识地放大考虑问题的“视角”，从大处着眼，由整体入手，通过细心地观察和深入地分析，找出整体与局部之间的联系，从而在宏观上寻求解决问题的途径.
例4 已知代数式3y2-2y+4的值为8，求代数式■y2-y+1的值.
分析：仔细观察可发现所求代数式有如下特点：含有字母的项的系数是已知多项式中含有字母的项的系数的■，故可将3y2-2y看成一个整体代入.
解：由3y2-2y+4=8可得3y2-2y=4，
∴■y2-y+1=■（3y2-2y）+1=■×4+1=3.
五、化归思想
化归思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法.具体地讲，就是把新知识转化为旧知识，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知转化为已知.
例5 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则CD的长为（ ）.
A.■cm B.■cm
C.4■cm D.8cm
分析：在解有关梯形的问题时，常常需要添加辅助线，将梯形问题转化为三角形或特殊四边形问题加以解决.
图4 图5
解：如图5，作AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形AEFD为矩形，∴AE=DF，
∵∠B=45°，∴AE=AB·sinB=8·sin45°=4■. ∵∠D=120°，∴∠CDF=30°，
∵cos∠CDF=■，
∴CD=■=■=■cm.
所以选A.
六、建模思想
所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型、建立函数模型等都是建模思想的重要体现.
例2 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠.设顾客预计累计购物x元（x>300）.
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.
分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家超市购物更优惠，我们可以从实际问题构建函数模型，通过函数的图象比较来确定如何选择，才使购物更实惠.
解：（1）设在甲超市购物的所付的费用为 y甲，在乙超市所付的购物费用为y乙
则y甲=300 +（x-300）×80%=0.8x+60，
y乙=200+（x-200）×90%=0.9x+20.（x>300）
图3
（2）在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图3），从图象可以看出当x=400时，y甲=y乙；当x<400时，y甲>y乙；当x>400时， y甲 点评：从实际问题出发构建函数模型，借助函数图象比较在哪个超市购买商品更优惠体现出对建模思想的应用.
上期《七年级上册综合测试题》参考答案
1.C；2.C；3.C；4.A；5.B；6.4.5；7.-4；
8.90°；9.-1；10.20；
11.（1）原式=-1-■×■×（-6）=-1+1=0.
（2）原式=-3x+y2，把x=-2，y=■代入，
-3x+y2=6+■=6■.
12.（1）40°；
（2）图略∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+ 30°=40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON=■∠BOD=20°.
∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=60°，
OM平分∠AOC，
∴∠COM=■∠AOC=■×60°=30°.
∴∠BOM=∠COM-∠BOC=30°-10°=20°.
∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40°；
（3）∵OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOD的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
∴∠MON=■α+■β=■（α+β）；
同理，当∠AOB是钝角时，
∠MON=180°-■（α+β）；
故答案是：■或180°-■.
13.（1）x=-6；
（2）x=5.5；
（3）解方程■=x+■得：x=-■m；
解方程■=6x-2得：x=■.
依题意得 2=-■m，解得 m=-■；
（4）设此商品是按x折销售的，
140×0.1x-100=100×5%，
x=7.5.
答：此商品是按7.5折销售的.
上期《〈分式〉拓展精练》参考答案
1.C；2.B；3.A；4.C；5.B；6.2，2；
7.1；8.a>-1且a≠-■；9.5■；
10.±■；11.-■；12.x=5
13. （1）■， ■×（■-■）
（2）■，■×（■-■）
（3）■.
14. （1）设甲队单独完成这项工程需x天，根据题意，得（■+■）×16+■=1，
解这个方程，得x=40，经检验，x=40是原方程的解，
∴甲队单独完成这项工程需40天；
（2）设甲、乙合做完成需y天，则有（■+■）y=1.解得：y=24，甲单独完成需付工程款为40×3.5=140（万元），乙单独完成超过计划天数不符题意，甲、乙合做完成需付工程款为24×（3.5+2）=132（万元）.
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合做完成最省钱.
一、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分类解决，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”，从而获得完整的解答.
例1 甲、乙两地相距450千米，两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，已知快车的速度为120千米/时，慢车的速度为80千米/时，问经过多少小时两车相距50千米？
分析：此题是典型的行程问题，解题时，要注意利用分类讨论思想，分两车相遇前或相遇后相距50千米两种情况进行求解.
解：设经过x小时两车相距50千米，分两种情况进行讨论：
（1）相遇前两车相距50千米，
则有（120+80）x+50=450，解得x=2；
（2）相遇后两车相距50千米，
则有（120+80）x-50=450，解得x=2.5.
答：经过2小时或2.5小时两车相距50千米.
点评：解答此题，很多同学往往只考虑第（1）种情况，而忽略了第（2）种情况，主要是没有重视分类思想.
二、数形结合思想
数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到几何问题中，也可以用图形来解决代数问题.
例2 如图1，直线y=-■x+4与y轴交于点A，与直线y=■x+■交于点B，且直线y=■x+■与x轴交于点C，则△ABC的面积为 .
分析：设直线y=-■x+4与x轴交于点D.要求△ABC的面积，通过观察分析图形，只要能分别求出△ACD和△BCD的面积再相减即可，而由已知条件，结合图形的特点可以分别求出A、B、C、D的坐标，从而可以求解.
解：设直线y=-■x+4与x轴交于点D.而直线y=-■x+4与y轴交于点A，所以点A的坐标为（0，4），点D的坐标为（3，0），又直线y= -■x+4与直线y=■x+■交于点B，所以联立方程组可以求得点B的坐标为（■，2），因为直线y=■x+■与x轴交于点C，所以点C的坐标为（-1，0），所以CD=4.所以△ACD的面积为 ■CD×OA=■×4×4=8，△BCD的面积为 ■CD×B点的纵坐标=■×4×2=4，即△ABC的面积为8-4=4.
点评：利用数形结合的思想方法求解一定要充分发挥数与形各自的优势，不停地进行数与形之间的交换，从而做到方便、快捷、正确地求解. 图1
三、方程思想
有很多问题适合用方程求解，根据已知、所求的问题及有关的定义、性质等，设出适当的未知数并建立方程，进而解决问题，这是一种重要的思维方式.
例3 如图2，有一块边长1米的正方形钢板，被裁去长为■米、宽为■米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？
图2 图3
分析：本题是一道与正方形裁剪有关的操作性问题，解决问题首先要画出草图，然后从图形中寻找解决问题的模型，如何剪裁使得该正方形面积最大，实际上是确定正方形顶点的位置，可借助相似三角形的性质构造方程解决.
解：如图3，设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH过点P.设 AH =x，则BE=AH=x，AE=1-x.
∵MP//AH，∴△EMP∽△EAH，
∴■=■.
整理得12x2-11x+2=0.
解得x1=■，x2=■.
当x=■时，S正方形EFGH=（■）2+（1-■）2=■.
当x=■时，
S正方形EFGH=（■）2+（1-■）2=■<■.
∴当BE=DG=■米，BF=DH=■米时，裁下正方形面积最大，面积为■平方米.
四、整体思想
所谓整体思想，就是解决某些数学问题时有意识地放大考虑问题的“视角”，从大处着眼，由整体入手，通过细心地观察和深入地分析，找出整体与局部之间的联系，从而在宏观上寻求解决问题的途径.
例4 已知代数式3y2-2y+4的值为8，求代数式■y2-y+1的值.
分析：仔细观察可发现所求代数式有如下特点：含有字母的项的系数是已知多项式中含有字母的项的系数的■，故可将3y2-2y看成一个整体代入.
解：由3y2-2y+4=8可得3y2-2y=4，
∴■y2-y+1=■（3y2-2y）+1=■×4+1=3.
五、化归思想
化归思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法.具体地讲，就是把新知识转化为旧知识，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知转化为已知.
例5 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则CD的长为（ ）.
A.■cm B.■cm
C.4■cm D.8cm
分析：在解有关梯形的问题时，常常需要添加辅助线，将梯形问题转化为三角形或特殊四边形问题加以解决.
图4 图5
解：如图5，作AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形AEFD为矩形，∴AE=DF，
∵∠B=45°，∴AE=AB·sinB=8·sin45°=4■. ∵∠D=120°，∴∠CDF=30°，
∵cos∠CDF=■，
∴CD=■=■=■cm.
所以选A.
六、建模思想
所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型、建立函数模型等都是建模思想的重要体现.
例2 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠.设顾客预计累计购物x元（x>300）.
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.
分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家超市购物更优惠，我们可以从实际问题构建函数模型，通过函数的图象比较来确定如何选择，才使购物更实惠.
解：（1）设在甲超市购物的所付的费用为 y甲，在乙超市所付的购物费用为y乙
则y甲=300 +（x-300）×80%=0.8x+60，
y乙=200+（x-200）×90%=0.9x+20.（x>300）
图3
（2）在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图3），从图象可以看出当x=400时，y甲=y乙；当x<400时，y甲>y乙；当x>400时， y甲
上期《七年级上册综合测试题》参考答案
1.C；2.C；3.C；4.A；5.B；6.4.5；7.-4；
8.90°；9.-1；10.20；
11.（1）原式=-1-■×■×（-6）=-1+1=0.
（2）原式=-3x+y2，把x=-2，y=■代入，
-3x+y2=6+■=6■.
12.（1）40°；
（2）图略∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+ 30°=40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON=■∠BOD=20°.
∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=60°，
OM平分∠AOC，
∴∠COM=■∠AOC=■×60°=30°.
∴∠BOM=∠COM-∠BOC=30°-10°=20°.
∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40°；
（3）∵OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOD的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
∴∠MON=■α+■β=■（α+β）；
同理，当∠AOB是钝角时，
∠MON=180°-■（α+β）；
故答案是：■或180°-■.
13.（1）x=-6；
（2）x=5.5；
（3）解方程■=x+■得：x=-■m；
解方程■=6x-2得：x=■.
依题意得 2=-■m，解得 m=-■；
（4）设此商品是按x折销售的，
140×0.1x-100=100×5%，
x=7.5.
答：此商品是按7.5折销售的.
上期《〈分式〉拓展精练》参考答案
1.C；2.B；3.A；4.C；5.B；6.2，2；
7.1；8.a>-1且a≠-■；9.5■；
10.±■；11.-■；12.x=5
13. （1）■， ■×（■-■）
（2）■，■×（■-■）
（3）■.
14. （1）设甲队单独完成这项工程需x天，根据题意，得（■+■）×16+■=1，
解这个方程，得x=40，经检验，x=40是原方程的解，
∴甲队单独完成这项工程需40天；
（2）设甲、乙合做完成需y天，则有（■+■）y=1.解得：y=24，甲单独完成需付工程款为40×3.5=140（万元），乙单独完成超过计划天数不符题意，甲、乙合做完成需付工程款为24×（3.5+2）=132（万元）.
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合做完成最省钱.