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摘要
通过向量Lyapunov函数，给随机CGNNs以均方估计，研究基于马氏切换的脉冲时滞随机CohenGrossberg神经网络模型的均方指数稳定性，并利用数值例子对结论加以证明.关键词CohenGrossberg网络模型；均方指数稳定性；马氏切换
中图分类号O175
文献标志码A
0引言
在过去的几十年里，神经网络在各个领域有着广泛的研究和应用，吸引了国内外许多学者的关注[15].CohenGrossberg神经网络模型，由Cohen和Grossberg在1983年首次提出[1]，包括著名的细胞神经网络模型、Hopfield网络模型（HNNs），以及作为其特殊情况的LotkaVolterra竞争生态模型（LVCMs）.因为其在各领域的广泛应用，如联想记忆、模式分类、并行计算、机器人、计算机视觉和最优化等，近几年被研究人员广泛研究和引用.
時间延迟、脉冲扰动是导致神经网络不稳定的因素.在现实生活中，时滞对于神经网络的研究来说是不可避免的，是CGNNs频繁振荡和不稳定的来源，所以研究时滞CGNNs的稳定性具有重要的意义.Xu等[2]研究讨论了时滞随机CohenGrossberg网络模型的均方稳定性.另一方面，脉冲也是必不可免的，脉冲能使稳定的系统不稳定或者使不稳定的系统稳定.它应用在各个领域，如生物学、种群系统等.因此考虑脉冲作用下时滞随机神经网络系统的均方指数稳定性是很有必要的.越来越多的研究开始集中在脉冲神经网络和脉冲时滞随机神经网络的稳定性分析，并取得了一些重要成果[34].
最近几年研究的脉冲神经网络模型大多基于标量算子稳定性分析[513]，基于向量算子脉冲神经网络稳定性分析的研究很少，例如周伟松等[14].所以基于向量算子研究脉冲CGNNs的均方指数稳定性已成为一个具有重要的理论和实践意义的课题.本文通过在特定时刻添加脉冲干扰，将L算子以及伊藤公式结合起来应用到CGNNs，来研究带有马氏切换的随机脉冲CohenGrossberg神经网络模型的均方指数稳定性.
1预备知识
4讨论
稳定性不仅是神经网络应用的基础，同样也是神经网络最基本和重要的问题.近年来，有不少学者对随机神经系统的稳定性进行了大量的研究和应用.在此基础上，得到了随机脉冲时滞系统保持稳定性的条件.研究带有马氏切换随机脉冲时滞CGNNs的均方指数稳定性突破了传统只研究没有时滞的随机CGNNs的局限性，通过使用Halanay不等式以及伊藤公式得到了系统均方指数稳定性的充分条件.所讨论的随机脉冲时滞CGNNs不仅在理论上有着广泛的研究，在实际上也有着很大的发展前景.
参考文献
References
[1]Cohen M A，Grossberg S.Absolute stability and global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural networks[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1983，13（5）：815826
[2]Xu D Y，Zhou W S，Long S J.Global exponential stability of impulsive integrodifferential equation[J].Nonlinear Analysis（Theory，Methods & Applications），2006，64（12）：28052816
[3]Yao F Q，Cao J D，Cheng P，et al.Generalized average dwell time approach to stability and inputtostate stability of hybrid impulsive stochastic differential systems[J].Nonlinear Analysis（Hybrid Systems），2016，22：147160
[4]Xu D Y，Yang Z C.Impulsive delay differential inequality and stability of neural networks[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005，305（1）：107120
[5]Luo T Q，Long S J.A new inequality of Loperation to stochastic nonautonomous impulsive neural networks with delays[J].Advances in Difference Equations，2016，DOI：101186/s136620150697y
[6]Song Y F，Shen Y，Yin Q.New discrete Halanaytype inequalities and applications[J].Applied Mathematics Letters，2013，26（2）：258263
[7]Tang C Q，Wu Y H.Global exponential stability of nonresident computer virus models[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2017，34：149158
[8]Zhang Y.Global exponential stability of delay difference equations with delayed impulses[J].Mathematics and Computers in Simulation，2016，132：183194 [9]Sun F L，Gao L X，Zhu W，et al.Generalized exponential inputtostate stability of nonlinear systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation，2016，44：352359
[10]王慧.脉冲时滞神经网络的全局稳定性研究[D].重庆：重庆大学计算机学院，2007
WANG Hui.Study on global stability of impulsive delayed neural networks[D].Chongqing：College of Computer Science，Chongqing University，2007
[11]彭國强.随机神经网络的稳定性[D].长沙：湖南大学数学与计量经济学院，2009
PENG Guoqiang.Stability of stochastic neural networks[D].Changsha：College of Mathematics and Econometrics，Hunan University，2009
[12]Shen Y，Wang J.Almost sure exponential stability of recurrent neural networks with Markovian switching[J].IEEE Transactions on Neural Networks，2009，20（5）：840855
[13]Li Z H，Liu L，Zhu Q X.Meansquare exponential inputtostate stability of delayed CohenGrossberg neural networks with Markovian switching based on vector Lyapunov functions[J].Neural Networks，2016，84：3946
[14]Zhou W S，Teng L Y，Xu D Y.Meansquare exponentially inputtostate stability of stochastic CohenGrossberg neural networks with timevarying delays[J].Neurocomputing，2015，153：5461
[15]Wang X H，Guo Q Y，Xu D Y.Exponential pstability of impulsive stochastic CohenGrossberg neural networks with mixed delays[J].Mathematics & Computers in Simulation，2009，79（5）：16981710
AbstractFocused on CohenGrossberg neural networks，this paper investigates the meansquare exponential stability by means of the vector Lyapunov function.This method ensures that the impulsive stochastic CohenGrossberg neural network is exponentially stable.Finally，an example is used to illustrate the conclusions.
Key wordsCohenGrossberg networks； meansquare exponential stability； Markovian switching
通过向量Lyapunov函数，给随机CGNNs以均方估计，研究基于马氏切换的脉冲时滞随机CohenGrossberg神经网络模型的均方指数稳定性，并利用数值例子对结论加以证明.关键词CohenGrossberg网络模型；均方指数稳定性；马氏切换
中图分类号O175
文献标志码A
0引言
在过去的几十年里，神经网络在各个领域有着广泛的研究和应用，吸引了国内外许多学者的关注[15].CohenGrossberg神经网络模型，由Cohen和Grossberg在1983年首次提出[1]，包括著名的细胞神经网络模型、Hopfield网络模型（HNNs），以及作为其特殊情况的LotkaVolterra竞争生态模型（LVCMs）.因为其在各领域的广泛应用，如联想记忆、模式分类、并行计算、机器人、计算机视觉和最优化等，近几年被研究人员广泛研究和引用.
時间延迟、脉冲扰动是导致神经网络不稳定的因素.在现实生活中，时滞对于神经网络的研究来说是不可避免的，是CGNNs频繁振荡和不稳定的来源，所以研究时滞CGNNs的稳定性具有重要的意义.Xu等[2]研究讨论了时滞随机CohenGrossberg网络模型的均方稳定性.另一方面，脉冲也是必不可免的，脉冲能使稳定的系统不稳定或者使不稳定的系统稳定.它应用在各个领域，如生物学、种群系统等.因此考虑脉冲作用下时滞随机神经网络系统的均方指数稳定性是很有必要的.越来越多的研究开始集中在脉冲神经网络和脉冲时滞随机神经网络的稳定性分析，并取得了一些重要成果[34].
最近几年研究的脉冲神经网络模型大多基于标量算子稳定性分析[513]，基于向量算子脉冲神经网络稳定性分析的研究很少，例如周伟松等[14].所以基于向量算子研究脉冲CGNNs的均方指数稳定性已成为一个具有重要的理论和实践意义的课题.本文通过在特定时刻添加脉冲干扰，将L算子以及伊藤公式结合起来应用到CGNNs，来研究带有马氏切换的随机脉冲CohenGrossberg神经网络模型的均方指数稳定性.
1预备知识
4讨论
稳定性不仅是神经网络应用的基础，同样也是神经网络最基本和重要的问题.近年来，有不少学者对随机神经系统的稳定性进行了大量的研究和应用.在此基础上，得到了随机脉冲时滞系统保持稳定性的条件.研究带有马氏切换随机脉冲时滞CGNNs的均方指数稳定性突破了传统只研究没有时滞的随机CGNNs的局限性，通过使用Halanay不等式以及伊藤公式得到了系统均方指数稳定性的充分条件.所讨论的随机脉冲时滞CGNNs不仅在理论上有着广泛的研究，在实际上也有着很大的发展前景.
参考文献
References
[1]Cohen M A，Grossberg S.Absolute stability and global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural networks[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1983，13（5）：815826
[2]Xu D Y，Zhou W S，Long S J.Global exponential stability of impulsive integrodifferential equation[J].Nonlinear Analysis（Theory，Methods & Applications），2006，64（12）：28052816
[3]Yao F Q，Cao J D，Cheng P，et al.Generalized average dwell time approach to stability and inputtostate stability of hybrid impulsive stochastic differential systems[J].Nonlinear Analysis（Hybrid Systems），2016，22：147160
[4]Xu D Y，Yang Z C.Impulsive delay differential inequality and stability of neural networks[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005，305（1）：107120
[5]Luo T Q，Long S J.A new inequality of Loperation to stochastic nonautonomous impulsive neural networks with delays[J].Advances in Difference Equations，2016，DOI：101186/s136620150697y
[6]Song Y F，Shen Y，Yin Q.New discrete Halanaytype inequalities and applications[J].Applied Mathematics Letters，2013，26（2）：258263
[7]Tang C Q，Wu Y H.Global exponential stability of nonresident computer virus models[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2017，34：149158
[8]Zhang Y.Global exponential stability of delay difference equations with delayed impulses[J].Mathematics and Computers in Simulation，2016，132：183194 [9]Sun F L，Gao L X，Zhu W，et al.Generalized exponential inputtostate stability of nonlinear systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation，2016，44：352359
[10]王慧.脉冲时滞神经网络的全局稳定性研究[D].重庆：重庆大学计算机学院，2007
WANG Hui.Study on global stability of impulsive delayed neural networks[D].Chongqing：College of Computer Science，Chongqing University，2007
[11]彭國强.随机神经网络的稳定性[D].长沙：湖南大学数学与计量经济学院，2009
PENG Guoqiang.Stability of stochastic neural networks[D].Changsha：College of Mathematics and Econometrics，Hunan University，2009
[12]Shen Y，Wang J.Almost sure exponential stability of recurrent neural networks with Markovian switching[J].IEEE Transactions on Neural Networks，2009，20（5）：840855
[13]Li Z H，Liu L，Zhu Q X.Meansquare exponential inputtostate stability of delayed CohenGrossberg neural networks with Markovian switching based on vector Lyapunov functions[J].Neural Networks，2016，84：3946
[14]Zhou W S，Teng L Y，Xu D Y.Meansquare exponentially inputtostate stability of stochastic CohenGrossberg neural networks with timevarying delays[J].Neurocomputing，2015，153：5461
[15]Wang X H，Guo Q Y，Xu D Y.Exponential pstability of impulsive stochastic CohenGrossberg neural networks with mixed delays[J].Mathematics & Computers in Simulation，2009，79（5）：16981710
AbstractFocused on CohenGrossberg neural networks，this paper investigates the meansquare exponential stability by means of the vector Lyapunov function.This method ensures that the impulsive stochastic CohenGrossberg neural network is exponentially stable.Finally，an example is used to illustrate the conclusions.
Key wordsCohenGrossberg networks； meansquare exponential stability； Markovian switching