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摘要：数形结合思想是高中课标要求的基本思想之一，在高中数学教学和解题过程中有着非常重要的作用。本文主要介绍了如何充分利用数形结合思想去解出高中一些常见的题目，通过“数”转化为“形”和“形”转化为“数”让学生充分理解到这二者之间的联系，学会把复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而能够在数学学习过程中充分运用数形结合的思想来解决问题。
关键词：数形结合；形化数；数化形；解题
中图分类号：G633文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）06-0058-01
数学家华罗庚说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微。数形结合万般好，割离分家万事非。切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”[1]，这句话恰到好处的阐述了数形结合的内涵，“数”可以把复杂问题简单化，是一种抽象思维；“形”可以把抽象问题具体化，是一种形象思维。数形结合就是抽象思维和形象思维的结合、相互之间的补充，从而培养解决问题的能力。在解决问题的过程中，要帮助学生习惯于、善于把数与形结合在一起考虑，既注意数的几何意义，也分析形的数量关系。根据问题的条件，实现数与形的相互利用，相互转化，从而更好的理解、掌握数形结合思想的实际内涵。在高中解题过程中运用数形结合的思想解题主要通过“形”化“数”和“数”化“形”来实现数形之间的转化，下面将用一些具体的例子来阐述这两者之间的转化。
一、“形”化“数”，用代数来解决几何问题
几何图形虽然有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，用数论形，可以让学生理解图形几何意义下的数量关系。在高中数学立体几何解题过程中我们运用的向量法就是典型的例子，它通过建立空间直角坐标系把线线垂直和平行转化为向量垂直和平行的代数表达形式，把线面垂直和平行转化为线面中向量垂直和平行的代数形式，进而把几何问题转化为代数问题。
在三角函数中形化数的思想也有很重的运用，把几何图形中有关的边与角的关系式转化为二角函数的关系式，再借助于三角函数的有关概念与性质解决问题，如：
例二：已知在△ABC中，AB>AC，CE⊥AB，E为垂足，BD⊥AC，D为垂足，求证BD>CE。分析：由BD⊥AC，CE⊥AB得，sin∠DCB=BDBC，sin∠EBC=ECBC，又有AB>AC得，∠DCB>∠EBC，所以BDBC>CEBC，即BD>CE。这道题充分利用了三角函数的知识，把几何问题转化了，转化后让这个原本很复杂的问题变得分是简单，解题过程通俗易懂，运用的知识点也是很基础的知识，不涉及很高的技巧性，基本保证了每个学生都能够理解。
二、“数”化“形”，把数赋予几何直观
数是比较抽象的，我们难以把握，而形具有形象、直观的优点，能表达较多的思维。所以利用数形结合思想，把抽象的数转化为直观的图形，化难为易，利用图形来解决数的问题是一类常用的方法。
我们常用这种思想解决方程根的问题以及比较大小的问题转化为函数图像的问题，如：
例三：方程3x=3x的根的个数（）
分析：直接把方程的根求出来是很困难的，联想到二次函数与二次方程的关系，把等号两边看成是两个函数，把求方程根的问题转化为求函数交点的问题。如图所示，通过高中所学的函数知识画出y=3x和y=3x的图像，通过图形很容易发现图像只有一个交点，那么很显然原方程就只有一个根。
例四：比较y1=2x、y2=x3和y3=lnx当x=0.5时的大小
分析：前面两个的值可以通过计算大概的计算出来，但是第三个无法计算出来，所以不能够直接的比较第三者与前面这两个的大小关系。观察这三个值，会发现它们的形式和高中所学的指数函数、幂函数和对数函数十分相似，可以看成它们分别取0.5、3和0.5是的函数值，我们可以通过所学知识画出它们的函数图像，如图所示：从函数图像中很容易判断当x=0.5是三者之间的大小关系，y1>y2>y3。通过这种转化把数的问题转化为了函数图像的问题，让我们不熟悉的东西或者受很难求得东西通过图形简单的呈现了出来，充分体现了化抽象为具体的思想策略。
数形结合思想在求和中也有重要的运用，如：例五、求12+14+18+……+12n的值，分析：为了求出如果直接去求出12+14+18+……+12n的值，对于一般学生来说还是非常难的，我们可以考虑用数形结合思想来解决。我们可以这样理解，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去方形纸片的一半，正方形剩余面积是12，第二次剪去剩余图形的一半，得到的图形面积是14，即每次剪去前一次剩余图形面积的一半，……那么当第n次剪后得到的图形面积是12n，把每次剪下来的图形面积相加，即得到12+14+18+……+12n=1-12n。
还有平方差公式以及等差数列前n项和的公式等都可以个图形结合起来理解，既方便记忆，同时又学习理解了其几何意义。
“数无形不直观，形无数难入微”，形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
（作者单位：重庆师范大学）
参考文献：
[1]钱佩玲，中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社.2010.6：123-141
关键词：数形结合；形化数；数化形；解题
中图分类号：G633文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）06-0058-01
数学家华罗庚说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微。数形结合万般好，割离分家万事非。切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”[1]，这句话恰到好处的阐述了数形结合的内涵，“数”可以把复杂问题简单化，是一种抽象思维；“形”可以把抽象问题具体化，是一种形象思维。数形结合就是抽象思维和形象思维的结合、相互之间的补充，从而培养解决问题的能力。在解决问题的过程中，要帮助学生习惯于、善于把数与形结合在一起考虑，既注意数的几何意义，也分析形的数量关系。根据问题的条件，实现数与形的相互利用，相互转化，从而更好的理解、掌握数形结合思想的实际内涵。在高中解题过程中运用数形结合的思想解题主要通过“形”化“数”和“数”化“形”来实现数形之间的转化，下面将用一些具体的例子来阐述这两者之间的转化。
一、“形”化“数”，用代数来解决几何问题
几何图形虽然有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，用数论形，可以让学生理解图形几何意义下的数量关系。在高中数学立体几何解题过程中我们运用的向量法就是典型的例子，它通过建立空间直角坐标系把线线垂直和平行转化为向量垂直和平行的代数表达形式，把线面垂直和平行转化为线面中向量垂直和平行的代数形式，进而把几何问题转化为代数问题。
在三角函数中形化数的思想也有很重的运用，把几何图形中有关的边与角的关系式转化为二角函数的关系式，再借助于三角函数的有关概念与性质解决问题，如：
例二：已知在△ABC中，AB>AC，CE⊥AB，E为垂足，BD⊥AC，D为垂足，求证BD>CE。分析：由BD⊥AC，CE⊥AB得，sin∠DCB=BDBC，sin∠EBC=ECBC，又有AB>AC得，∠DCB>∠EBC，所以BDBC>CEBC，即BD>CE。这道题充分利用了三角函数的知识，把几何问题转化了，转化后让这个原本很复杂的问题变得分是简单，解题过程通俗易懂，运用的知识点也是很基础的知识，不涉及很高的技巧性，基本保证了每个学生都能够理解。
二、“数”化“形”，把数赋予几何直观
数是比较抽象的，我们难以把握，而形具有形象、直观的优点，能表达较多的思维。所以利用数形结合思想，把抽象的数转化为直观的图形，化难为易，利用图形来解决数的问题是一类常用的方法。
我们常用这种思想解决方程根的问题以及比较大小的问题转化为函数图像的问题，如：
例三：方程3x=3x的根的个数（）
分析：直接把方程的根求出来是很困难的，联想到二次函数与二次方程的关系，把等号两边看成是两个函数，把求方程根的问题转化为求函数交点的问题。如图所示，通过高中所学的函数知识画出y=3x和y=3x的图像，通过图形很容易发现图像只有一个交点，那么很显然原方程就只有一个根。
例四：比较y1=2x、y2=x3和y3=lnx当x=0.5时的大小
分析：前面两个的值可以通过计算大概的计算出来，但是第三个无法计算出来，所以不能够直接的比较第三者与前面这两个的大小关系。观察这三个值，会发现它们的形式和高中所学的指数函数、幂函数和对数函数十分相似，可以看成它们分别取0.5、3和0.5是的函数值，我们可以通过所学知识画出它们的函数图像，如图所示：从函数图像中很容易判断当x=0.5是三者之间的大小关系，y1>y2>y3。通过这种转化把数的问题转化为了函数图像的问题，让我们不熟悉的东西或者受很难求得东西通过图形简单的呈现了出来，充分体现了化抽象为具体的思想策略。
数形结合思想在求和中也有重要的运用，如：例五、求12+14+18+……+12n的值，分析：为了求出如果直接去求出12+14+18+……+12n的值，对于一般学生来说还是非常难的，我们可以考虑用数形结合思想来解决。我们可以这样理解，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去方形纸片的一半，正方形剩余面积是12，第二次剪去剩余图形的一半，得到的图形面积是14，即每次剪去前一次剩余图形面积的一半，……那么当第n次剪后得到的图形面积是12n，把每次剪下来的图形面积相加，即得到12+14+18+……+12n=1-12n。
还有平方差公式以及等差数列前n项和的公式等都可以个图形结合起来理解，既方便记忆，同时又学习理解了其几何意义。
“数无形不直观，形无数难入微”，形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
（作者单位：重庆师范大学）
参考文献：
[1]钱佩玲，中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社.2010.6：123-141