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三角形的相关概念及其全等是初中几何的一个重要内容和考查点，学好三角形的相关知识不仅能使同学们对空间与图形有更深刻的认识，而且对解决三角形与其他知识的综合问题也有很大的帮助.
重点省市中考数学试卷统计：
从上面的统计来看，三角形的相关概念及其全等在中考中的考查涉及内容丰富，知识点较多，题型涉及选择题、填空题和解答题.由于该部分内容是初中数学的重点知识，等腰三角形、全等三角形的性质与判定更是中考必考内容，所以所占的分值较多，一般在8分至17分之间，也有部分地区超过20分，如在2008年上海市中考试卷中就达到了25分之多．
一、解读基础——三角形基础知识
通过研究和分析2008年各地中考试题，不难发现，在考查三角形相关概念及其全等的基础知识与重点知识方面所占比重较大，试题注重对基本概念、公理、定理及应用的考查.这部分内容应掌握的基础有：
1.三角形基本概念
（1）三角形按边分为：不等边三角形和等腰三角形；按角分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
（2）三角形的性质有：
①三角形内角和为180°；
②三角形外角与内角的关系；
③三角形的三边关系定理；
④三角形的稳定性．
2. 等腰三角形和直角三角形
（1）了解等腰三角形和等边三角形的概念.
（2）等腰三角形的性质和判定，尤其是等腰三角形三线合一．
（3）掌握等边三角形的性质和判定方法．
（4）了解线段的垂直平分线、角的平分线的性质和判定．
（5）掌握轴对称的性质，了解轴对称的判定.
（6）掌握直角三角形的性质和判定：
①直角三角形的两锐角互余，反之亦成立；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，反之亦成立；
③直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
④勾股定理及其逆定理.
3.全等三角形
（1）全等三角形的性质有：
①全等三角形的对应边、对应角分别相等；
②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等．
（2）掌握全等三角形的5种判定方法．
（3）掌握基本的尺规作图．
例题精选（2008哈尔滨考题）如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
解析：设CN=xcm ,则EN=DN=8-x ,在Rt△CEN中由勾股定理可求得 x=3，故选B.
中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，对三角形的相关概念及判定三角形全等的考查，一般所涉及的是选择题或填空题.此部分内容仍将是2009年各省市中考数学试题的考查对象，多以选择题或填空题的形式出现，分值一般为3分．
二、提升能力——三角形知识的应用
三角形相关的概念及其全等这部分内容，由于概念、性质较多，因此对其理解能力和应用能力的要求相对要高一些．在掌握好基础知识的情况下，要注意比较、分类和联系，切实掌握基本方法，积极尝试这些知识在新的问题情景中的应用，还应注重与相关知识的联系. 对其要求掌握的知识点总结如下：
1. 三角形的三边关系定理.这是我们比较线段长短的一个重要工具.使用该定理判定围三角形问题时常出现如下思维误区：①判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两边之和大于第三边就可以；②求边长、周长或解与等腰三角形有关的问题时，易丢解．
2. 三角形的角平分线、中线和高线的应用方法.三角形角平分线的应用方法主要有：①直接用角平分线分得的两个角相等；②在角的两边截取相等的线段；③向角的两边作垂线；④向角的一边作平行线．
三角形中线的应用方法主要有：①用中点证中点；②利用中点作全等；③利用中点作中位线．
三角形高的应用方法主要有：①直接运用高的定义；②利用定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”转化问题．
3.与三角形相关的角.三角形内角和等于180°是三角形本身固有的性质，它作为一个隐含条件，在有关角的计算中经常用到.定理的证明是通过转化思想，借助辅助线完成的，这种方法在其它问题中经常用到.三角形的外角及其性质除了和内角和相结合，用于求角度的计算外，也用于求说明角的不等关系，有时利用外角的性质求角的度数比利用内角和求要简单．
4.全等三角形.关于全等三角形的性质，要注意从全等三角形的概念出发，认真观察图形，找出对应角和对应边，总结出寻找两个全等三角形对应边、对应角的规律，进而掌握确定对应边、对应角的方法.关于全等三角形的判定，要注意两个三角形全等时应认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要证明结论的内在联系，从而选择最适当的方法.有时，直接证两个三角形全等的条件不具备，就要通过作辅助线，构造全等三角形，“创造”条件，来达到证明的目的．
例题精选（2008北京市考题）如图2， C为 BE上一点，点A、D 分别在BE 两侧．AB∥ED ， AB=CE，BC=ED ．求证：AC=CD ．
解析：∵AB∥ED ，∴∠B=∠ E．
在 △ABC和△CDE 中，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE.
∴ △ABC≌△CDE，
∴ AC=CD.
中考题型总结与预测 三角形相关概念及其全等在2009年的中考题中将会更多地贴近生活，试卷中仍将把理解能力和应用能力作为中档题目，形式一般以解答题为主，分值约在6~10分之间.
三、注重归纳——解三角形的思想方法
数学思想方法一直是中考考查的重点内容之一，所以在复习这部分知识时，一定要注意数学思想方法的运用.这部分内容的常见思想方法有方程思想、转化思想和分类讨论思想等．
1.方程思想：三角形的角、边及全等三角形的对应角、对应边，已知其中的部分量计算其他量，可用方程来求解．
2.转化思想：在解决三角形相关概念及其全等的问题时，需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换进行转化，并选择运用恰当的数学方法进行变换，从而达到化复杂为简单，化未知为已知，化抽象为具体来解决．
3.分类讨论思想： 三角形的角、边及全等三角形的对应角、对应边均须讨论对应关系，如已知等腰三角形一个角求其他两个角的度数，就须确认已知角是顶角还是底角来才能解决．
例题精选 （2008长沙市考题）如图3，在四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.
解析：（1）证明略；
（2）当四边形AECF为菱形时，可转化为△ABE为等边三角形，且边长为2.求△ABE的高为，可知菱形AECF的高为，
∴菱形AECF的面积为2．
中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，针对这部分知识运用数学思想方法的考题，出现频率较多，但难度适中.在2009年的数学中考试题中，针对这部分知识运用数学思想方法的考题仍会是各地重点关注的对象，一般会以选择题、填空题或解答题的形式出现，分值在3~10分之间.
四、综合运用——与三角形相关知识的融汇贯通
三角形相关概念及其全等作为后续学习四边形和相似的一个平台，在考查这部分知识时，一定会将其与函数、图形相结合，引申出内容复杂、形式多样的考题，尤其是该部分内容的开放性、探究性试题，有利于考查学生的思维能力与创新意识.因此，中考中增加其创新题型，突出试题的开放性、探究性，将是今后中考数学命题的方向，同时也将是学生们所面对的难点.
例题精选（2008天津市考题）已知Rt△ABC中，CA=CB ，∠ACB=90°，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线交于点M、N．
（1）当扇形CEF 绕点C在∠ACB 的内部旋转时，如图4，求证：MN2=AM2+BN2；
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图5的位置时，关系式MN2=AM2+BN2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解析：（1）如图5，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN、DM，则△DCM ≌△ACM ．
∴CD=CA ，AM=DM ，∠DCM=∠ACM ，
∠CDM=∠A.
又由CA=CB ，得CD=CB．
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM ，
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM，
得 ∠DCN=∠BCN．
又 CN=CN，∴△CDN ≌△CBN ．
∴ DN=BN，∠CDN=∠B ．
∴∠MDN=∠CBM+∠CDN=∠A+∠B= 90°．
∴在Rt△MDN 中，由勾股定理得MN2=DM2+DN2， 即 MN2=AM2+BN2．
（2）关系式MN2=AM2+BN2 仍然成立.证明略．
中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，该部分知识的融合与探究考题很多．由于它能全面考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力，所以在2009年的中考数学试题中，该部分与其他知识之间的融合仍是考查的重点和难点，其出题的形式也较多，选择题、填空题、解答题中都会出现，分值一般在3~15分之间.
编辑/王宇
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
重点省市中考数学试卷统计：
从上面的统计来看，三角形的相关概念及其全等在中考中的考查涉及内容丰富，知识点较多，题型涉及选择题、填空题和解答题.由于该部分内容是初中数学的重点知识，等腰三角形、全等三角形的性质与判定更是中考必考内容，所以所占的分值较多，一般在8分至17分之间，也有部分地区超过20分，如在2008年上海市中考试卷中就达到了25分之多．
一、解读基础——三角形基础知识
通过研究和分析2008年各地中考试题，不难发现，在考查三角形相关概念及其全等的基础知识与重点知识方面所占比重较大，试题注重对基本概念、公理、定理及应用的考查.这部分内容应掌握的基础有：
1.三角形基本概念
（1）三角形按边分为：不等边三角形和等腰三角形；按角分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
（2）三角形的性质有：
①三角形内角和为180°；
②三角形外角与内角的关系；
③三角形的三边关系定理；
④三角形的稳定性．
2. 等腰三角形和直角三角形
（1）了解等腰三角形和等边三角形的概念.
（2）等腰三角形的性质和判定，尤其是等腰三角形三线合一．
（3）掌握等边三角形的性质和判定方法．
（4）了解线段的垂直平分线、角的平分线的性质和判定．
（5）掌握轴对称的性质，了解轴对称的判定.
（6）掌握直角三角形的性质和判定：
①直角三角形的两锐角互余，反之亦成立；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，反之亦成立；
③直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
④勾股定理及其逆定理.
3.全等三角形
（1）全等三角形的性质有：
①全等三角形的对应边、对应角分别相等；
②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等．
（2）掌握全等三角形的5种判定方法．
（3）掌握基本的尺规作图．
例题精选（2008哈尔滨考题）如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
解析：设CN=xcm ,则EN=DN=8-x ,在Rt△CEN中由勾股定理可求得 x=3，故选B.
中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，对三角形的相关概念及判定三角形全等的考查，一般所涉及的是选择题或填空题.此部分内容仍将是2009年各省市中考数学试题的考查对象，多以选择题或填空题的形式出现，分值一般为3分．
二、提升能力——三角形知识的应用
三角形相关的概念及其全等这部分内容，由于概念、性质较多，因此对其理解能力和应用能力的要求相对要高一些．在掌握好基础知识的情况下，要注意比较、分类和联系，切实掌握基本方法，积极尝试这些知识在新的问题情景中的应用，还应注重与相关知识的联系. 对其要求掌握的知识点总结如下：
1. 三角形的三边关系定理.这是我们比较线段长短的一个重要工具.使用该定理判定围三角形问题时常出现如下思维误区：①判断三条线段能否组成三角形时，误认为只要有两边之和大于第三边就可以；②求边长、周长或解与等腰三角形有关的问题时，易丢解．
2. 三角形的角平分线、中线和高线的应用方法.三角形角平分线的应用方法主要有：①直接用角平分线分得的两个角相等；②在角的两边截取相等的线段；③向角的两边作垂线；④向角的一边作平行线．
三角形中线的应用方法主要有：①用中点证中点；②利用中点作全等；③利用中点作中位线．
三角形高的应用方法主要有：①直接运用高的定义；②利用定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”转化问题．
3.与三角形相关的角.三角形内角和等于180°是三角形本身固有的性质，它作为一个隐含条件，在有关角的计算中经常用到.定理的证明是通过转化思想，借助辅助线完成的，这种方法在其它问题中经常用到.三角形的外角及其性质除了和内角和相结合，用于求角度的计算外，也用于求说明角的不等关系，有时利用外角的性质求角的度数比利用内角和求要简单．
4.全等三角形.关于全等三角形的性质，要注意从全等三角形的概念出发，认真观察图形，找出对应角和对应边，总结出寻找两个全等三角形对应边、对应角的规律，进而掌握确定对应边、对应角的方法.关于全等三角形的判定，要注意两个三角形全等时应认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要证明结论的内在联系，从而选择最适当的方法.有时，直接证两个三角形全等的条件不具备，就要通过作辅助线，构造全等三角形，“创造”条件，来达到证明的目的．
例题精选（2008北京市考题）如图2， C为 BE上一点，点A、D 分别在BE 两侧．AB∥ED ， AB=CE，BC=ED ．求证：AC=CD ．
解析：∵AB∥ED ，∴∠B=∠ E．
在 △ABC和△CDE 中，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE.
∴ △ABC≌△CDE，
∴ AC=CD.
中考题型总结与预测 三角形相关概念及其全等在2009年的中考题中将会更多地贴近生活，试卷中仍将把理解能力和应用能力作为中档题目，形式一般以解答题为主，分值约在6~10分之间.
三、注重归纳——解三角形的思想方法
数学思想方法一直是中考考查的重点内容之一，所以在复习这部分知识时，一定要注意数学思想方法的运用.这部分内容的常见思想方法有方程思想、转化思想和分类讨论思想等．
1.方程思想：三角形的角、边及全等三角形的对应角、对应边，已知其中的部分量计算其他量，可用方程来求解．
2.转化思想：在解决三角形相关概念及其全等的问题时，需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换进行转化，并选择运用恰当的数学方法进行变换，从而达到化复杂为简单，化未知为已知，化抽象为具体来解决．
3.分类讨论思想： 三角形的角、边及全等三角形的对应角、对应边均须讨论对应关系，如已知等腰三角形一个角求其他两个角的度数，就须确认已知角是顶角还是底角来才能解决．
例题精选 （2008长沙市考题）如图3，在四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.
解析：（1）证明略；
（2）当四边形AECF为菱形时，可转化为△ABE为等边三角形，且边长为2.求△ABE的高为，可知菱形AECF的高为，
∴菱形AECF的面积为2．
中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，针对这部分知识运用数学思想方法的考题，出现频率较多，但难度适中.在2009年的数学中考试题中，针对这部分知识运用数学思想方法的考题仍会是各地重点关注的对象，一般会以选择题、填空题或解答题的形式出现，分值在3~10分之间.
四、综合运用——与三角形相关知识的融汇贯通
三角形相关概念及其全等作为后续学习四边形和相似的一个平台，在考查这部分知识时，一定会将其与函数、图形相结合，引申出内容复杂、形式多样的考题，尤其是该部分内容的开放性、探究性试题，有利于考查学生的思维能力与创新意识.因此，中考中增加其创新题型，突出试题的开放性、探究性，将是今后中考数学命题的方向，同时也将是学生们所面对的难点.
例题精选（2008天津市考题）已知Rt△ABC中，CA=CB ，∠ACB=90°，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线交于点M、N．
（1）当扇形CEF 绕点C在∠ACB 的内部旋转时，如图4，求证：MN2=AM2+BN2；
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图5的位置时，关系式MN2=AM2+BN2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解析：（1）如图5，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN、DM，则△DCM ≌△ACM ．
∴CD=CA ，AM=DM ，∠DCM=∠ACM ，
∠CDM=∠A.
又由CA=CB ，得CD=CB．
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM ，
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM，
得 ∠DCN=∠BCN．
又 CN=CN，∴△CDN ≌△CBN ．
∴ DN=BN，∠CDN=∠B ．
∴∠MDN=∠CBM+∠CDN=∠A+∠B= 90°．
∴在Rt△MDN 中，由勾股定理得MN2=DM2+DN2， 即 MN2=AM2+BN2．
（2）关系式MN2=AM2+BN2 仍然成立.证明略．
中考题型总结与预测 在2008年各地中考试题中，该部分知识的融合与探究考题很多．由于它能全面考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力，所以在2009年的中考数学试题中，该部分与其他知识之间的融合仍是考查的重点和难点，其出题的形式也较多，选择题、填空题、解答题中都会出现，分值一般在3~15分之间.
编辑/王宇
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