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摘要：数学课堂中，如何有效提高学生的解题能力一直困扰着我们一线的数学老师。本文试从课堂教学实践出发，以具体案例阐述提高学生解题能力的有效策略，以培养学生独立思考、积极探索的习惯，并提高解题能力。
关键词：解题能力有效策略
数学问题千变万化，题海茫茫，要使学生置身题海而得心应手，游刃有余，就必须提高解题能力。数学家波利亚曾说：中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。的确，通过解题，学生将学到的数学知识转化为技能，将数学知识融会贯通，培养了思维品质和探究能力，数学素养也得到提升。然而在实践中，我们很多一部分老师反复训练，机械操作，把提高解题能力全部寄予题海战之中，不管何种题型，均不加区别，以同一模式对待，忽视了解题技巧的培养。那么在教学中，如何提高学生的解题能力？笔者基于教学实践，谈谈提高解题能力的一些策略。
一、渗透数学思想方法，提高学生数学修养。
数学思想方法是对数学对象的本质认识。数学思想是从某些具体的数学内容和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式，途径、策略等。它不仅帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构，而且是提高数学思维水平，建立科学数学观念，从而发展数学，运用数学的保证。下面以数形结合为例，来描述如何提高学生的解题能力。
案例一：（2010年浙江·湖州卷）将图1（1）中阴影部分的小长方形变形到图1（2）位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是。
答案
说明：此题由图形中的面积相等入手，用字母分别表示出两个图形的面积，列出代数式，再依据图形的等积变换，建立数量关系，这一过程就是将符号语言与图形语言的转换，体现了数形结合数学思想，达到了以形解数的目的。
案例二：解不等式｜x- 3｜－｜x+ 5｜＞2
分析：题中抽象的数字﹣5，3用数轴上的点A，B来表示， 、 分别表示点X到点B、A的距离，设有一点X1，使X1B－Ｘ1A=2，由图2可知X1表示数－2，而 － ＞2表示
X1B－Ｘ1A＞2，则X在X1左侧，所以原不等式的解集为x＜﹣2。
说明：该题以数轴为思维工具，利用绝对值在数轴上的几何意义，利用数形结合思想，省去了分段讨论的过程，达到化繁为简，化难为易的目的。达到了以形助数的目的。
案例三：如图3，在△ABC中，∠A＝90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P、Q，同时从点A出发，P沿AC运动，Q沿AB，BC运动，结果两个动点同时到达点C，求点Q在BC上运动时，△APQ的面积的最大值。
解：∵△ABC中，∠A＝90°，∠C=30°，AB=1∴BC＝2，AC＝ ，由题意得点Q运动的速度是点P的 倍。设AP＝x，当点Q在BC上运动时，AB＋BQ＝ x，CQ＝3－ x，过点Q作QH⊥AC，垂足为H，则QH＝ QC＝ ，设△APQ面积为y，则y＝ AP·QH＝－ ≤x≤ ），
∴当x＝－ 时，y最大值＝ ,即△APQ的面积最大值是 。
说明：此题是用代数方法解平面几何问题，把面积的最值问题转化成二次函数的最值问题，通过具体的数量关系确定点在图形中的位置，充分体现了数形结合思想。达到了用数解形的目的。
数形结合的思想方法，可以使数学的形象思维和逻辑思维交织在一起，数与形相互渗透，启发，使学生的思维朝着不同的方向，不同的角度转化，并得以提升。
多种数学思想方法相互协调，丰富了学生的知识，培养了学生分析数学问题和解决问题的能力，同时数学思想方法又是联系各种数学知识与技能的纽带，优化了学生的知识结构，因此，在教学中渗透数学方法，是提高学生解题能力的一种有效途径。
二、提炼基本图形，提高思维能力
复杂的几何图形，都是利用基本图形，即运用相交线与平行线、三角形、四边形、圆等基本图形为素材拼合而成的几何图形。解决这些几何图形的问题，关键就是把复杂的图形中分离或者构造出基本图形，帮助学生在较短的时间内抓住问题的本质，并防止题中无关信息的干扰。教学中，教师要善于引导学生发掘、提炼基本图形，以提高学生的思维水平，达到举一反三的教学效果。
案例四：如图4， ABCD中，G为CD延长线上一点，连接BG，分别交AC、AD于点E、F，此图中有几对相似三角形？
基本图形：如图4-1，4-2 若MN∥PQ，则△KMN∽△KPQ
解：在图４中，由AD∥BC，即FD∥BC，利用基本图形（１），可得△GFD∽△GBC；
由AD∥BC，即AF∥BC，利用基本图形（２），可得△AEF∽△CEB；
由AB∥CD，即AB∥GC，利用基本图形（２），可得△BFA∽△GFD；
另外，由相似的传递性，根据△GFD∽△GBC，△BFA∽△GFD；可得△GBC∽△BFA。
由平行四边形的中心对称性，可得△ABC∽△CDA。
因此，图中共有６对相似三角形。
分析：此题相似三角形的基本图形“A形”和“X形”这两种模型，为我们寻找相似三角形提供了方便，既防止寻找过程中的盲目性，也防止因为粗心而漏掉的可能，
案例五：（2010年浙江· 金华卷）如图5，AB是⊙O的直径，C是 中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为 ，CE的长是 ．
答案：如图5-1，延长CE交⊙O于点G.
由已知，可得 = 。
于是∠1=∠2
所以CF=BF
（2）半径为5，
说明：此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定、直径所对的圆周角的性质、垂径定理，以及同圆中弦与弧的关系等内容。第（1）题的证明，通过延长垂线段，构造了符合垂径定理条件的基本图形，使角相等的问题转化为弧相等问题，进而与已知弧中点相联系，使问题得已解决。第（2）小题，利用面积相等或者利用相似的方法，均可以求得问题的解，在较为复杂的图形中构造基本图形，再借助基本图形的特性加以解决，以实现将复杂问题转化为简单问题目的。
三、利用变式训练，将知识融会贯通
综观许多试题，都是源于教材，却高于教材，因此能够常出常新，但基本知识并未发生变化，而变式训练是将原材料任意分解，组合改变答题的思维方式，变式训练是打破思维定势，可以让学生将知识融会贯通，提高学生应变能力及提高学习成绩的有效方法。
案例六：如图6，正方形ABCD中P为BC中点， CF平分正方形ABCD的外角∠DCH ，PM⊥AP交CF于M， 求证：AP= PM
证明：取AB的中点O，连结PO，可得，AO=PC，
又∠APC=∠BAP +∠B=∠APM+∠MPC， ∵∠B=∠APM=Rt∠ ∴∠BAP=∠MPC，
又由等腰直角△BOP和CF是∠DCH 的平分线，可得∠AOP=∠PCM =135°。∴△AOP≌△PCM，∴AP= PM
变式1：⑴ 当P为边BC上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。
⑵ 当P为边BC延长线上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。
⑶ 当P为边CB延长线上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。
⑴⑵⑶题证法一样。
变式2：如图7-⑴，正三角形ABC中，P为BC上任意一点，CF平分正三角形ABC的外角∠ACH ， PM与AP的夹角等于∠B，（60°）且PM交CF于M，
求证：AP= PM
简证： 在AB（BA延长线或AB延长线）上 取点O， 使BO=BP，连结PO，易证，AO=PC， 又∠APC=∠BAP+∠B=∠APM+∠MPC，∵∠B=∠APM=60° ∴∠BAP=∠MPC， 又由正△BOP和CF是∠ACH 的平分线，可得：∠AOP=∠PCM =120°。 ∴ △AOP≌△PCM， ∴AP= PM 。
变式3：正三角形、正方形可以推广到正N边形，其他条件不变，结论也成立！
变式4：如图8，在△ABC中， AB=AC， P为AC上任意一点，且 ∠A =∠BPD =∠BCD，
求证： PB= PD
简证：连结BD，∵∠BPD =∠BCD，∴B、P、C、D四点共圆。∴∠BDP=∠BCP，∴∠CBD=∠CPD，
又∵∠BPC =∠A + ∠ABP ，且∠A =∠BPD，∵∠ABP =∠CPD =∠CBD， ∴∠ABC=∠PBD，
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCP，∴∠BDP=∠PBD，∴PB= PD （也可以： 过P作PE∥BC交AB于E再证明△BEP≌△PCD，从而得到PB= PD。）
说明：变式4则是问题的根本所在，它揭示了问题的内在特征和规律，使变式得到了质的突破。因此，以基本图形为“基准点”，通过基本图形的运动、组合、分解、变式，从而将某一问题转换成更一般的问题，把研究的图形扩展到更大范围内进行考察，从而开阔学生解决问题的视野，激发了学生的学习兴趣，培养学生举一反三、触类旁通的思维品质和创新能力，使思维的灵活性和多向性得以培养和发展。
四、利用开放性试题，发散学生思维
开放性试题由于具有条件开放、结论开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地反映高层次思维，为学生的思维发展创造条件，能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，发展学生的创新意识。
案例七：如图9，已知∠BAC=∠ABD，试添加一个条件，使△ABC≌△BAD
解析：把图形分解成为两个三角形（△ABC与△BAD），已知AB为公共边，∠BAC=∠ABD，根据“SAS”可以补充AC=BD；根据“ASA”可补充∠ABC与∠BAD；根据“AAS”可补充∠C=∠D。
（这是一道典型的条件开放性试题，考查学生逆向思维能力，采用逆推法解题，执果索因）
案例八：如图10，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交 于点D，试写出5个不同类型的正确结论。
解析：（1）由AB为直径，得∠ACB=90°；
（2）由OD⊥BC，∠ACB=90°，得AC∥OD；
（3）由AC∥OD，可得∠BOD=∠A；又由AC∥OD，可得△BOE∽△BAC；
（4）由AC∥OD，O为AB的中点，可得OE为△ABC的中位线；
（5）由OD⊥BC，根据垂径定理，得∠BEO=∠CEO=90°，CE=BE， ；
……
说明：这是一道典型的结论开放性试题，结合条件，首先应该想到垂径定理，然后再加以发挥，这就要求条件明确的前提下，学会确定结论，再把思维发散，联想到相关知识，从而得到许多结论。
由此可见，开放性试题，是锻炼学生科学思维方式和创新能力的好素材，设置开放性试题，让学生自己改变条件，得到许多不同的结论，从而发散学生思维，真正提高解题能力。
总之，培养学生的解题能力，措施方法很多，只要我们教师在教学中，引导学生在实践中感知、体会解题的思想方法，逐步形成一系列行多有效的解题策略，在遇到新的问题时，能以有效的思维策略，去探索解题思路与途径。
参考文献：
（1）刘金英等中考数学试题分类解析——空间与图形【J】中国数学教育 2011年1-2 P47
（2）李海东 重视数学思想方法的教学【M】人民教育出版社2010年7月
（3）赵永提高初中数学课堂教学的有效性.【J】数理化学习2008,(11)
关键词：解题能力有效策略
数学问题千变万化，题海茫茫，要使学生置身题海而得心应手，游刃有余，就必须提高解题能力。数学家波利亚曾说：中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。的确，通过解题，学生将学到的数学知识转化为技能，将数学知识融会贯通，培养了思维品质和探究能力，数学素养也得到提升。然而在实践中，我们很多一部分老师反复训练，机械操作，把提高解题能力全部寄予题海战之中，不管何种题型，均不加区别，以同一模式对待，忽视了解题技巧的培养。那么在教学中，如何提高学生的解题能力？笔者基于教学实践，谈谈提高解题能力的一些策略。
一、渗透数学思想方法，提高学生数学修养。
数学思想方法是对数学对象的本质认识。数学思想是从某些具体的数学内容和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式，途径、策略等。它不仅帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构，而且是提高数学思维水平，建立科学数学观念，从而发展数学，运用数学的保证。下面以数形结合为例，来描述如何提高学生的解题能力。
案例一：（2010年浙江·湖州卷）将图1（1）中阴影部分的小长方形变形到图1（2）位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是。
答案
说明：此题由图形中的面积相等入手，用字母分别表示出两个图形的面积，列出代数式，再依据图形的等积变换，建立数量关系，这一过程就是将符号语言与图形语言的转换，体现了数形结合数学思想，达到了以形解数的目的。
案例二：解不等式｜x- 3｜－｜x+ 5｜＞2
分析：题中抽象的数字﹣5，3用数轴上的点A，B来表示， 、 分别表示点X到点B、A的距离，设有一点X1，使X1B－Ｘ1A=2，由图2可知X1表示数－2，而 － ＞2表示
X1B－Ｘ1A＞2，则X在X1左侧，所以原不等式的解集为x＜﹣2。
说明：该题以数轴为思维工具，利用绝对值在数轴上的几何意义，利用数形结合思想，省去了分段讨论的过程，达到化繁为简，化难为易的目的。达到了以形助数的目的。
案例三：如图3，在△ABC中，∠A＝90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P、Q，同时从点A出发，P沿AC运动，Q沿AB，BC运动，结果两个动点同时到达点C，求点Q在BC上运动时，△APQ的面积的最大值。
解：∵△ABC中，∠A＝90°，∠C=30°，AB=1∴BC＝2，AC＝ ，由题意得点Q运动的速度是点P的 倍。设AP＝x，当点Q在BC上运动时，AB＋BQ＝ x，CQ＝3－ x，过点Q作QH⊥AC，垂足为H，则QH＝ QC＝ ，设△APQ面积为y，则y＝ AP·QH＝－ ≤x≤ ），
∴当x＝－ 时，y最大值＝ ,即△APQ的面积最大值是 。
说明：此题是用代数方法解平面几何问题，把面积的最值问题转化成二次函数的最值问题，通过具体的数量关系确定点在图形中的位置，充分体现了数形结合思想。达到了用数解形的目的。
数形结合的思想方法，可以使数学的形象思维和逻辑思维交织在一起，数与形相互渗透，启发，使学生的思维朝着不同的方向，不同的角度转化，并得以提升。
多种数学思想方法相互协调，丰富了学生的知识，培养了学生分析数学问题和解决问题的能力，同时数学思想方法又是联系各种数学知识与技能的纽带，优化了学生的知识结构，因此，在教学中渗透数学方法，是提高学生解题能力的一种有效途径。
二、提炼基本图形，提高思维能力
复杂的几何图形，都是利用基本图形，即运用相交线与平行线、三角形、四边形、圆等基本图形为素材拼合而成的几何图形。解决这些几何图形的问题，关键就是把复杂的图形中分离或者构造出基本图形，帮助学生在较短的时间内抓住问题的本质，并防止题中无关信息的干扰。教学中，教师要善于引导学生发掘、提炼基本图形，以提高学生的思维水平，达到举一反三的教学效果。
案例四：如图4， ABCD中，G为CD延长线上一点，连接BG，分别交AC、AD于点E、F，此图中有几对相似三角形？
基本图形：如图4-1，4-2 若MN∥PQ，则△KMN∽△KPQ
解：在图４中，由AD∥BC，即FD∥BC，利用基本图形（１），可得△GFD∽△GBC；
由AD∥BC，即AF∥BC，利用基本图形（２），可得△AEF∽△CEB；
由AB∥CD，即AB∥GC，利用基本图形（２），可得△BFA∽△GFD；
另外，由相似的传递性，根据△GFD∽△GBC，△BFA∽△GFD；可得△GBC∽△BFA。
由平行四边形的中心对称性，可得△ABC∽△CDA。
因此，图中共有６对相似三角形。
分析：此题相似三角形的基本图形“A形”和“X形”这两种模型，为我们寻找相似三角形提供了方便，既防止寻找过程中的盲目性，也防止因为粗心而漏掉的可能，
案例五：（2010年浙江· 金华卷）如图5，AB是⊙O的直径，C是 中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为 ，CE的长是 ．
答案：如图5-1，延长CE交⊙O于点G.
由已知，可得 = 。
于是∠1=∠2
所以CF=BF
（2）半径为5，
说明：此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定、直径所对的圆周角的性质、垂径定理，以及同圆中弦与弧的关系等内容。第（1）题的证明，通过延长垂线段，构造了符合垂径定理条件的基本图形，使角相等的问题转化为弧相等问题，进而与已知弧中点相联系，使问题得已解决。第（2）小题，利用面积相等或者利用相似的方法，均可以求得问题的解，在较为复杂的图形中构造基本图形，再借助基本图形的特性加以解决，以实现将复杂问题转化为简单问题目的。
三、利用变式训练，将知识融会贯通
综观许多试题，都是源于教材，却高于教材，因此能够常出常新，但基本知识并未发生变化，而变式训练是将原材料任意分解，组合改变答题的思维方式，变式训练是打破思维定势，可以让学生将知识融会贯通，提高学生应变能力及提高学习成绩的有效方法。
案例六：如图6，正方形ABCD中P为BC中点， CF平分正方形ABCD的外角∠DCH ，PM⊥AP交CF于M， 求证：AP= PM
证明：取AB的中点O，连结PO，可得，AO=PC，
又∠APC=∠BAP +∠B=∠APM+∠MPC， ∵∠B=∠APM=Rt∠ ∴∠BAP=∠MPC，
又由等腰直角△BOP和CF是∠DCH 的平分线，可得∠AOP=∠PCM =135°。∴△AOP≌△PCM，∴AP= PM
变式1：⑴ 当P为边BC上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。
⑵ 当P为边BC延长线上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。
⑶ 当P为边CB延长线上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。
⑴⑵⑶题证法一样。
变式2：如图7-⑴，正三角形ABC中，P为BC上任意一点，CF平分正三角形ABC的外角∠ACH ， PM与AP的夹角等于∠B，（60°）且PM交CF于M，
求证：AP= PM
简证： 在AB（BA延长线或AB延长线）上 取点O， 使BO=BP，连结PO，易证，AO=PC， 又∠APC=∠BAP+∠B=∠APM+∠MPC，∵∠B=∠APM=60° ∴∠BAP=∠MPC， 又由正△BOP和CF是∠ACH 的平分线，可得：∠AOP=∠PCM =120°。 ∴ △AOP≌△PCM， ∴AP= PM 。
变式3：正三角形、正方形可以推广到正N边形，其他条件不变，结论也成立！
变式4：如图8，在△ABC中， AB=AC， P为AC上任意一点，且 ∠A =∠BPD =∠BCD，
求证： PB= PD
简证：连结BD，∵∠BPD =∠BCD，∴B、P、C、D四点共圆。∴∠BDP=∠BCP，∴∠CBD=∠CPD，
又∵∠BPC =∠A + ∠ABP ，且∠A =∠BPD，∵∠ABP =∠CPD =∠CBD， ∴∠ABC=∠PBD，
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCP，∴∠BDP=∠PBD，∴PB= PD （也可以： 过P作PE∥BC交AB于E再证明△BEP≌△PCD，从而得到PB= PD。）
说明：变式4则是问题的根本所在，它揭示了问题的内在特征和规律，使变式得到了质的突破。因此，以基本图形为“基准点”，通过基本图形的运动、组合、分解、变式，从而将某一问题转换成更一般的问题，把研究的图形扩展到更大范围内进行考察，从而开阔学生解决问题的视野，激发了学生的学习兴趣，培养学生举一反三、触类旁通的思维品质和创新能力，使思维的灵活性和多向性得以培养和发展。
四、利用开放性试题，发散学生思维
开放性试题由于具有条件开放、结论开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地反映高层次思维，为学生的思维发展创造条件，能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，发展学生的创新意识。
案例七：如图9，已知∠BAC=∠ABD，试添加一个条件，使△ABC≌△BAD
解析：把图形分解成为两个三角形（△ABC与△BAD），已知AB为公共边，∠BAC=∠ABD，根据“SAS”可以补充AC=BD；根据“ASA”可补充∠ABC与∠BAD；根据“AAS”可补充∠C=∠D。
（这是一道典型的条件开放性试题，考查学生逆向思维能力，采用逆推法解题，执果索因）
案例八：如图10，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交 于点D，试写出5个不同类型的正确结论。
解析：（1）由AB为直径，得∠ACB=90°；
（2）由OD⊥BC，∠ACB=90°，得AC∥OD；
（3）由AC∥OD，可得∠BOD=∠A；又由AC∥OD，可得△BOE∽△BAC；
（4）由AC∥OD，O为AB的中点，可得OE为△ABC的中位线；
（5）由OD⊥BC，根据垂径定理，得∠BEO=∠CEO=90°，CE=BE， ；
……
说明：这是一道典型的结论开放性试题，结合条件，首先应该想到垂径定理，然后再加以发挥，这就要求条件明确的前提下，学会确定结论，再把思维发散，联想到相关知识，从而得到许多结论。
由此可见，开放性试题，是锻炼学生科学思维方式和创新能力的好素材，设置开放性试题，让学生自己改变条件，得到许多不同的结论，从而发散学生思维，真正提高解题能力。
总之，培养学生的解题能力，措施方法很多，只要我们教师在教学中，引导学生在实践中感知、体会解题的思想方法，逐步形成一系列行多有效的解题策略，在遇到新的问题时，能以有效的思维策略，去探索解题思路与途径。
参考文献：
（1）刘金英等中考数学试题分类解析——空间与图形【J】中国数学教育 2011年1-2 P47
（2）李海东 重视数学思想方法的教学【M】人民教育出版社2010年7月
（3）赵永提高初中数学课堂教学的有效性.【J】数理化学习2008,(11)