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摘 要：“数学化”包括“横向数学化”和“纵向数学化”。“纵向数学化”强调在数学世界中进行符号生成、重塑和使用，能够促使学生的数学学习从低阶迈向高阶，促进学生的数学深度学习。教师在数学教学中运用“纵向数学化”理论，可以促进学生的本质性学习、结构性学习和反思性学习。
关键词：小学数学;纵向数学化;深度学习;本质性学习;结构性学习;反思性学习
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2020）19-0084-02
荷兰著名数学教育家费赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中明确提出了“横向数学化”和“纵向数学化”的理论。当下的数学教学，普遍重视“横向数学化”，即注重引导学生从“生活”到“数学”的过渡。其实，“数学化”是有层次的，在数学的世界中符号的生成、重塑和使用，能让学生的数学学习不断从低阶迈向高阶，这就是纵向数学化的基本过程。在笔者看来，“纵向数学化”更有助于促进学生的深度学习。
一、 纵向数学化，促进学生的本质性学习
从根本上说，学生的数学学习就是不断追寻数学本质的过程。纵向数学化能促进学生的本质性学习，本质性学习是深度学习的一种，是相对于浅层学习而言的，是指学生在数学学习中不断舍弃非本质的东西，而保留本质性的东西。在数学教学中，教师要引导学生以纵向数学化为思考方向，让学生追根究底，悟得真知，悟得数学思想。
例如，教学苏教版五年级下册“3的倍数的特征”，笔者在教学中运用“纵向数学化”理论，这样引导学生深度学习。首先，笔者通过一个有趣的游戏，帮助学生建立“3的倍数的特征”的感性认知。游戏设计：让学生想好或者用笔记录下一个“3的倍数的数”，或不是“3的倍数的数”，然后在计数器上一个个拨算珠，表示出“3的倍数的数”或者不是“3的倍数的数”。在学生拨完算珠之后，笔者仅通过听算珠声音，就能判断这个数是否是3的倍数。这样的游戏，一方面激发了学生的好奇心，另一方面更激发了学生的认知冲突，激发了学生的数学思考。学生思考：老师所听的算珠的声音与这个数之间有着怎样的关系呢？在深度思考中，学生发现，老师听算珠的声音，其实就是在判断有几个算珠，也就是将这个数各个数位上数字的和加起来。
纵向数学化，还要引导学生从感性认知上升到理性认知。为此，笔者借助多媒体，将学生所举的“3的倍数的数”，用数形结合的方式展示出来。比如，一位学生举出了“234”，为此，笔者将“234”用小正方形图表示出来。正方形图分成三个部分：2个百、3个十以及4个一。通过对图形的直观探讨，学生认识到：判断一个数是否是3的倍数，就是看这个数各个数位上数字的和。这样基于纵向数学化的溯本求源的教学，是一种直抵数学本质的教学，因而促进了学生的深度理解。
二、 纵向数学化，促进学生的结构性学习
纵向数学化是建立在学生比较、分析、抽象、概括等数学化活动的基础之上的。有效的纵向数学化学习，不仅要求学生掌握数学知识的本质，更要求学生掌握数学知识的结构，明晰数学知识的各个节点如生长点、生发点、链接点，等等。因此，在数学教学中，教师不仅要引导学生自主建构数学知识，还要让学生有纵向的穿透能力和多元的勾连能力。
比如，教学苏教版五年级上册的“梯形的面积”，通常教法是，教师引导学生推导出梯形的面积公式之后，就引导学生进行梯形面积公式的应用。教师的教学目标紧紧定位于引导学生掌握梯形的面积公式，而忽视引导学生将梯形面积公式与平行四边形面积公式、三角形面积公式进行勾连、比较，导致了学生对多边形面积公式理解不全面。“纵向数学化”要求引导学生进行比较性学习、结构性学习、整体性学习。基于“纵向数学化”的理论视角，教师不仅要引导学生理解梯形的面积公式，更要引导学生将其他面积公式（包括平行四边形的面积公式、三角形的面积公式）进行比较，从而在不同面积公式表征形式的背后，探寻更为一般、更为普适的视角。这样的一种观点，笔者称之为“大视角”或者“高观点”。借助多媒体课件，笔者向学生动态展示梯形演变成三角形、梯形演变成平行四边形的过程。通过多媒体的动态演示，学生直观地看到：当梯形的上底或下底逐渐变小，最后演变成一个点时，梯形就演变为三角形;当两个同样的梯形颠倒拼接在一起，梯形就演变为平行四边形。这样，学生就能感悟到，原来平行四边形、三角形以及梯形的面积并不是孤立的，而是相互关联、相互统一的。学生就能用动态的观点来审视、看待梯形的面积公式，从而在梯形的面积公式、三角形的面积公式以及平行四边形的面积公式之间形成某种关联。当三角形的面积公式、平行四边形的面积公式都被纳入到梯形的面积公式之下，梯形的面积公式就更具一般性、普适性。通过“纵向数学化”，学生就会感悟到图形面积之间的相互转化，感受到图形面积的关联性。
纵向数学化就是要求教师在教会学生数学知识的同时，要追求知识背后的思想，要追求思想背后的更高层次的数学观念。高觀点、大思想的建立，能让学生洞悉数学知识之间的结构性关联。通过纵向数学化，学生感受、体验到数学知识的严密性、逻辑性，从学习平行四边形的面积、三角形的面积到学习梯形的面积，学生的推导方法能发生有效的迁移，比如“倍拼法”“剪拼法”等，学生能感受到贯穿其中的数学思想的内在统一。
三、纵向数学化，促进学生的反思性学习
反思性学习，说到底就是要求学生善于“回头看”。很多时候，学生的数学学习之所以肤浅，之所以停留在表层，关键在于学生不善于反思。所谓“反思”，又称“后思”，是指“学生在学习之后对学习历程、结果的一种再思考”。作为教师，在教学中不仅要善于引导学生探索，还要善于引导学生反刍、反思、反省、反问。通过反思，让学生的数学思维更深刻、更严谨。
比如在教学苏教版五年级下册“异分母分数加、减法”时，笔者引导学生经历纵向数学化，即通过不同的方法如“画图法”“化小数法”“通分法”等将异分母分数化成同分母分数。在学生建构了一般性的“通分法”将异分母分数化成同分母分数之后，笔者引导学生反思，促进学生的反思性学习。追问一：为什么要将异分母分数也就是不同分母的分数化成同分母分数？追问二：这一方法和整数加减法中的什么知识、小数加减法中的什么知识是一致的？这样的追问，还能让学生主动追溯已经学习的知识，比如整数加减法法则、小数加减法法则。不仅如此，这样的追问能引发学生的深度思考：整数加减法法则、小数加减法法则、异分母分数加减法的法则之间有什么共同的规律？通过小组交流、研讨，学生能够达成共识，即“只有计数单位相同才能直接相加减”。相比较于“异分母分数加减法”的法则，这一反思性的结论显然更为抽象，更具普适性、一般性，更能强化学生的数学理解，更能统驭学生已经学习的整数、小数、分数加减法等相关知识。学生认识到，加减法无论是整数加减法、小数加减法还是分数加减法法则，贯穿其中的乃是“计数单位”，乃是“计数单位相同”。有了这样的核心性、主导性的认知，学生的数学学习自然显得更有深度。 总之，要实现“纵向数学化”，关键是教师要善于引导学生进行本质性学习、结构性学习和反思性学习。没有“纵向数学化”过程，学生就不能领略数学知识精髓，就无法形成对数学的实质性把握。作为教师，要为学生创造“纵向数学化”的课堂，组织学生经历“纵向数学化”的思考历程。
参考文献：
[1]弗赖登塔尔.数学教育再探：在中国的讲学[M].刘意竹，杨刚，等.译.上海：上海教育出版社，1999.
[2]科普兰.儿童怎样学习数学[M].李其维，康清镳.译.上海：上海教育出版社，1985.
[3]施惠芳.小学数学实验教学的“数学化”探寻[J].江苏教育，2019（09）.
[4]沈超.小学数学教学“数学化”缺失的分析[J].数学教育学报，2008（04）.
Vertical Mathematization：
Promoting Students’ Deep Learning
Xu Xuhong
（Rucheng Experimental Primary School， Rucheng Town， Rugao City， Jiangsu Province， Rugao 226500， China）
Abstract： "Mathematization" includes "horizontal mathematization" and "vertical mathematization". "Vertical mathematicization" emphasizes the generation， reconstruction and use of symbols in the mathematical world， which can promote students’ mathematics learning from low level to high level， and promote students’ mathematics in-depth learning. Teachers can promote students’ essential learning， structural learning and reflective learning by applying the theory of "longitudinal mathematicization" in mathematics teaching.
Key words： primary school mathematics; longitudinal mathematization; deep learning; essential learning; structural learning; reflective learning
作者簡介：许旭红（1979-），女，江苏南通人，中小学高级教师，从事数学教学与研究。
关键词：小学数学;纵向数学化;深度学习;本质性学习;结构性学习;反思性学习
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2020）19-0084-02
荷兰著名数学教育家费赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中明确提出了“横向数学化”和“纵向数学化”的理论。当下的数学教学，普遍重视“横向数学化”，即注重引导学生从“生活”到“数学”的过渡。其实，“数学化”是有层次的，在数学的世界中符号的生成、重塑和使用，能让学生的数学学习不断从低阶迈向高阶，这就是纵向数学化的基本过程。在笔者看来，“纵向数学化”更有助于促进学生的深度学习。
一、 纵向数学化，促进学生的本质性学习
从根本上说，学生的数学学习就是不断追寻数学本质的过程。纵向数学化能促进学生的本质性学习，本质性学习是深度学习的一种，是相对于浅层学习而言的，是指学生在数学学习中不断舍弃非本质的东西，而保留本质性的东西。在数学教学中，教师要引导学生以纵向数学化为思考方向，让学生追根究底，悟得真知，悟得数学思想。
例如，教学苏教版五年级下册“3的倍数的特征”，笔者在教学中运用“纵向数学化”理论，这样引导学生深度学习。首先，笔者通过一个有趣的游戏，帮助学生建立“3的倍数的特征”的感性认知。游戏设计：让学生想好或者用笔记录下一个“3的倍数的数”，或不是“3的倍数的数”，然后在计数器上一个个拨算珠，表示出“3的倍数的数”或者不是“3的倍数的数”。在学生拨完算珠之后，笔者仅通过听算珠声音，就能判断这个数是否是3的倍数。这样的游戏，一方面激发了学生的好奇心，另一方面更激发了学生的认知冲突，激发了学生的数学思考。学生思考：老师所听的算珠的声音与这个数之间有着怎样的关系呢？在深度思考中，学生发现，老师听算珠的声音，其实就是在判断有几个算珠，也就是将这个数各个数位上数字的和加起来。
纵向数学化，还要引导学生从感性认知上升到理性认知。为此，笔者借助多媒体，将学生所举的“3的倍数的数”，用数形结合的方式展示出来。比如，一位学生举出了“234”，为此，笔者将“234”用小正方形图表示出来。正方形图分成三个部分：2个百、3个十以及4个一。通过对图形的直观探讨，学生认识到：判断一个数是否是3的倍数，就是看这个数各个数位上数字的和。这样基于纵向数学化的溯本求源的教学，是一种直抵数学本质的教学，因而促进了学生的深度理解。
二、 纵向数学化，促进学生的结构性学习
纵向数学化是建立在学生比较、分析、抽象、概括等数学化活动的基础之上的。有效的纵向数学化学习，不仅要求学生掌握数学知识的本质，更要求学生掌握数学知识的结构，明晰数学知识的各个节点如生长点、生发点、链接点，等等。因此，在数学教学中，教师不仅要引导学生自主建构数学知识，还要让学生有纵向的穿透能力和多元的勾连能力。
比如，教学苏教版五年级上册的“梯形的面积”，通常教法是，教师引导学生推导出梯形的面积公式之后，就引导学生进行梯形面积公式的应用。教师的教学目标紧紧定位于引导学生掌握梯形的面积公式，而忽视引导学生将梯形面积公式与平行四边形面积公式、三角形面积公式进行勾连、比较，导致了学生对多边形面积公式理解不全面。“纵向数学化”要求引导学生进行比较性学习、结构性学习、整体性学习。基于“纵向数学化”的理论视角，教师不仅要引导学生理解梯形的面积公式，更要引导学生将其他面积公式（包括平行四边形的面积公式、三角形的面积公式）进行比较，从而在不同面积公式表征形式的背后，探寻更为一般、更为普适的视角。这样的一种观点，笔者称之为“大视角”或者“高观点”。借助多媒体课件，笔者向学生动态展示梯形演变成三角形、梯形演变成平行四边形的过程。通过多媒体的动态演示，学生直观地看到：当梯形的上底或下底逐渐变小，最后演变成一个点时，梯形就演变为三角形;当两个同样的梯形颠倒拼接在一起，梯形就演变为平行四边形。这样，学生就能感悟到，原来平行四边形、三角形以及梯形的面积并不是孤立的，而是相互关联、相互统一的。学生就能用动态的观点来审视、看待梯形的面积公式，从而在梯形的面积公式、三角形的面积公式以及平行四边形的面积公式之间形成某种关联。当三角形的面积公式、平行四边形的面积公式都被纳入到梯形的面积公式之下，梯形的面积公式就更具一般性、普适性。通过“纵向数学化”，学生就会感悟到图形面积之间的相互转化，感受到图形面积的关联性。
纵向数学化就是要求教师在教会学生数学知识的同时，要追求知识背后的思想，要追求思想背后的更高层次的数学观念。高觀点、大思想的建立，能让学生洞悉数学知识之间的结构性关联。通过纵向数学化，学生感受、体验到数学知识的严密性、逻辑性，从学习平行四边形的面积、三角形的面积到学习梯形的面积，学生的推导方法能发生有效的迁移，比如“倍拼法”“剪拼法”等，学生能感受到贯穿其中的数学思想的内在统一。
三、纵向数学化，促进学生的反思性学习
反思性学习，说到底就是要求学生善于“回头看”。很多时候，学生的数学学习之所以肤浅，之所以停留在表层，关键在于学生不善于反思。所谓“反思”，又称“后思”，是指“学生在学习之后对学习历程、结果的一种再思考”。作为教师，在教学中不仅要善于引导学生探索，还要善于引导学生反刍、反思、反省、反问。通过反思，让学生的数学思维更深刻、更严谨。
比如在教学苏教版五年级下册“异分母分数加、减法”时，笔者引导学生经历纵向数学化，即通过不同的方法如“画图法”“化小数法”“通分法”等将异分母分数化成同分母分数。在学生建构了一般性的“通分法”将异分母分数化成同分母分数之后，笔者引导学生反思，促进学生的反思性学习。追问一：为什么要将异分母分数也就是不同分母的分数化成同分母分数？追问二：这一方法和整数加减法中的什么知识、小数加减法中的什么知识是一致的？这样的追问，还能让学生主动追溯已经学习的知识，比如整数加减法法则、小数加减法法则。不仅如此，这样的追问能引发学生的深度思考：整数加减法法则、小数加减法法则、异分母分数加减法的法则之间有什么共同的规律？通过小组交流、研讨，学生能够达成共识，即“只有计数单位相同才能直接相加减”。相比较于“异分母分数加减法”的法则，这一反思性的结论显然更为抽象，更具普适性、一般性，更能强化学生的数学理解，更能统驭学生已经学习的整数、小数、分数加减法等相关知识。学生认识到，加减法无论是整数加减法、小数加减法还是分数加减法法则，贯穿其中的乃是“计数单位”，乃是“计数单位相同”。有了这样的核心性、主导性的认知，学生的数学学习自然显得更有深度。 总之，要实现“纵向数学化”，关键是教师要善于引导学生进行本质性学习、结构性学习和反思性学习。没有“纵向数学化”过程，学生就不能领略数学知识精髓，就无法形成对数学的实质性把握。作为教师，要为学生创造“纵向数学化”的课堂，组织学生经历“纵向数学化”的思考历程。
参考文献：
[1]弗赖登塔尔.数学教育再探：在中国的讲学[M].刘意竹，杨刚，等.译.上海：上海教育出版社，1999.
[2]科普兰.儿童怎样学习数学[M].李其维，康清镳.译.上海：上海教育出版社，1985.
[3]施惠芳.小学数学实验教学的“数学化”探寻[J].江苏教育，2019（09）.
[4]沈超.小学数学教学“数学化”缺失的分析[J].数学教育学报，2008（04）.
Vertical Mathematization：
Promoting Students’ Deep Learning
Xu Xuhong
（Rucheng Experimental Primary School， Rucheng Town， Rugao City， Jiangsu Province， Rugao 226500， China）
Abstract： "Mathematization" includes "horizontal mathematization" and "vertical mathematization". "Vertical mathematicization" emphasizes the generation， reconstruction and use of symbols in the mathematical world， which can promote students’ mathematics learning from low level to high level， and promote students’ mathematics in-depth learning. Teachers can promote students’ essential learning， structural learning and reflective learning by applying the theory of "longitudinal mathematicization" in mathematics teaching.
Key words： primary school mathematics; longitudinal mathematization; deep learning; essential learning; structural learning; reflective learning
作者簡介：许旭红（1979-），女，江苏南通人，中小学高级教师，从事数学教学与研究。