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摘要：阿基米德平面铺砌是指用一种或多种正多边形铺砌全平面，且要求铺砌的每个顶点的顶点特征相同。阿基米德平面铺砌共有11种，针对其中的[4.8.8]铺砌，即每个铺砌顶点连接边长相同的一个正方形，两个正八边形，研究[4.8.8]铺砌上的椭圆所包含铺砌顶点数的特性，通过对椭圆内半弦上顶点列的分析，采用数的几何及数论中同余的方法给出顶点数的取值算法，并获得顶点数与椭圆短半轴长平方的比值的极限公式，证明极限值与对应铺砌的中心多边形的面积有关。所得算法及极限公式对其他阿基米德铺砌中相关问题的研究有借鉴作用。
关键词：离散几何；阿基米德铺砌；椭圆；中心多边形；凸包
中图分类号：O157.3MSC（2010）主题分类：52C15文献标志码：A
收稿日期：20160812；修回日期：20170201；责任编辑：张军基金项目：河北省自然科学基金（A2014208095）第一作者简介：魏祥林（1974—），女，河北张家口人，教授，博士，主要从事离散与组合几何方面的研究。Email：sd_wxl@126.com
离散与组合几何[1]中一个重要研究课题是平面铺砌[2]问题，平面铺砌T={T1，T2，…}是指可数个闭集T1，T2，…构成的集族，满足R2=∪∞i=1Ti，任意两个Ti（i=1，2，…）的内部不交，闭集Ti（i=1，2，…）称为铺砌元。T中任意两个铺砌元的交或为空集，或为孤立点，或为曲线集。交点称为铺砌的顶点，交曲线称为铺砌的边，边对边铺砌指每个铺砌元是多边形且相邻的铺砌元共有一个完整的铺砌边[3]。如果铺砌中任一顶点周围的铺砌元按环形顺序依次是n1边形，n2边形，n3边形等等，就称该顶点为[n1.n2.n3]型。以正多边形为铺砌元且所有顶点属同一类型的铺砌恰好有11种[45]，这11种铺砌统称为阿基米德铺砌。在所有11种阿基米德铺砌中，由单一铺砌元生成的铺砌共有3种，分别为由正三角形生成的[3.3.3.3.3.3]铺砌，由正方形生成的[4.4.4.4]铺砌，由正六边形生成[6.6.6]铺砌。所有正多边形的顶点为铺砌顶点，所有正多边形的边为铺砌边。 从铺砌的定义看出，整数格即可视为由单位正方形构成的[4.4.4.4]阿基米德铺砌的顶点集。从这个意义出发，利用数的几何中讨论格点性质的相关手法探讨其他阿基米德铺砌的顶点性质成为一个有意义的研究课题。DING等[6]首次尝试将数的几何中关于整数格点的Pick定理推广至[6.6.6]铺砌的顶点集[6]，之后在相关问题研究中获得了一系列成果[713]。在以上研究的基础上，KOLODZIEJCZYK等[89，1419]从几何的角度证明数论中一些计数问题和面积问题。本文主要研究的是由正方形和正八边形生成的[4.8.8]铺砌上的计数问题。 河北科技大学学报2017年第2期魏祥林，等：关于[4.8.8]铺砌中椭圆上D点数的研究
[4.8.8]铺砌是一种阿基米德铺砌，如图1所示。这里为了讨论的方便，记[4.8.8]铺砌的的顶点集为D，其中的点称为D 点，本文中[4.8.8]铺砌中正八边形与正方形铺砌元的边长均取为1。在[4.8.8]阿基米德铺砌中以正八边形中心为椭圆中心、以正整数n为短半轴长、2n为长半轴长的椭圆记为E（n），E（n）的内部和边界上所含的顶点数记为N（n）。
1基本定义
定义所有正八边形铺砌元的中心组成的集合为C1，C1中的点称为C1点，定义所有正方形铺砌元的中心组成的集合为C2，C2中的点称为C2点。记D1，D2，D3，D4分别为所有C1点按向量（1+22，12）、（-1+22，12）、（-1+22，-12）、（1+22，-12）平移后所得的点的集合，如图1所示，易见D=D1∪D2∪D3∪D4。则水平方向相邻的D1与D2之间的距离为1或1+2，水平方向相邻的D3与D4之间的距离也为1或1+2。定义1在En中，若一个集合中任意2点的直线段均含于该集合中，则称该集合为凸集。称包含一个集合的最小凸集为该集合的凸包。 定义2在[4.8.8]阿基米德铺砌中，与一个铺砌顶点相关联的每个铺砌元的中心的凸包形成的图形称为该顶点对应的中心多边形。
2相关引理和主要结论
引理1[20]在铺砌边长均为1的[4.4.4.4]阿基米德铺砌中，以铺砌的任意顶点为圆心、以正整数n为半径的圆的内部和边界上所含铺砌顶点的个数记为N（n），则limn→∞N（n）n2=πS，其中S为对应铺砌的正方形铺砌元的面积。 本文研究[4.8.8]阿基米德铺砌中，落在椭圆E（n）的内部和边界上的顶点数N（n）的取值，给出相应的算法，并得出下述结论。定理1在铺砌边长均为1的[4.8.8]阿基米德铺砌中，设E（n）为以正八边形中心为椭圆中心、以正整数n为短半轴长、2n为长半轴长的椭圆。E（n）的内部和边界上所含D点的个数记为N（n），则limn→∞N（n）n2=2πS，其中S为[4.8.8]铺砌的中心多边形面积。
3N（n）的取值分析
以任一C1点为原点，过正八边形中心C1点和正方形中心C2点的水平直线为x轴、竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，记原点为O。以原点O为椭圆中心作短半轴长为正整数n、长半轴长为2n的椭圆，椭圆与x轴的交点记为A0，B0，与y轴的交点记为E，F，记A0B0所确定的直线为l0。现将l0沿y轴正向平移，记第一次遇到D 点的直线为l1，与椭圆E（n）的交点记为A1、B1，弦A1B1的中点为O1；l0继续沿y轴正向平移，记第二次遇到D点的直线为l2，与椭圆E（n）的交点记为A2，B2，弦A2B2的中点为O2。依次进行下去，记第i条直线为li，li与椭圆E（n）的交点记为Ai，Bi，弦AiBi的中点为Oi，其中i=0，1，2，…，k。即lk+1与椭圆E（n）是相离关系，由上述过程可知，所有的弦li都是平行的，而平行線l0，l1，l2，…，lk之间的距离分别是12，22，1，22，1，22，1，…。 令[a]表示a的整数部分，{a}表示a的小数部分，则{a}=a-[a]。从图2中不难发现，l0与l1之间的距离为12，li与li+2之间的距离为1+22，其中i=1，2，…，k-2，li与li+1之间的距离为1或22，其中i=1，2，…，k-1，所以根据椭圆与y轴正向的交点F所处的两条相邻平行线li与li+1之间的距离不同，分两种情形对k的取值进行讨论。 情形A包含F的2条平行线li与li+1之间的距离为22。此时i是奇数，短半轴长n满足：0≤n-1222+1×（22+1）<22时，从x轴到点F与x轴平行弦的个数k=n-1222+1×2+1。情形B包含F的两条平行线li与li+1之间的距离为1。此时i是偶数，短半轴长n满足：22≤n-1222+1×（22+1）<22+1时，从x轴到点F与x轴平行弦的个数k=n-1222+1×2+2。记弦心距|O0Oi|为yi，半弦长|OiBi|为xi，其中i=0，1，2，…，k。当i是奇数时，yi=（1+22）×i-12+12；当i是偶数时，yi=（1+22）×i2-12；由椭圆公式得xi=2n2-y2i，半弦长xi上所含D点的个数记为ai。因为长轴A0B0和短轴EF把椭圆E（n）分成关于椭圆中心完全对称的4部分，由椭圆对称性知N（n）=（a1+a2+…+ak）×4。根据直线li上分布的D点类型的不同，分以下4种情形讨论。 情形1i≡0（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D4，D3，D4，D3，…），而相邻两点D3与D4之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。 情形1.1Bi位于距离为1的相邻两点D4与D3之间。xi满足：0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1，线段OiBi的D点序列为（D4，D3，D4，…，D3，D4），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-（12+22）2+2×2+1。情形1.2Bi位于距离为1+2的相邻两点D3与D4之间。xi满足：1≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D4，D3，…，D4，D3），线段OiBi上所含的D點数为ai=xi-（12+22）2+2×2+2。情形2i≡1（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D1，D2，D1，D2，…），而相邻两点D1与D2之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。 情形2.1Bi位于距离为1的相邻两点D1与D2之间。xi满足：0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1，线段OiBi的D点序列为（D1，D2，…，D1，D2，D1），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-（12+22）2+2×2+1。情形2.2Bi位于距离为1+2的相邻两点D2与D1之间。此时xi满足：1≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D1，D2，…，D1，D2），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-（12+22）2+2×2+2。情形3i≡2（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D3，D4，D3，D4，…），而相邻两点D3与D4之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。情形3.1Bi位于距离为1+2的相邻两点D3与D4之间。xi满足：0≤xi-122+2×（2+2）<1+2，线段OiBi的D点序列为（D3，D4，…，D3，D4，D3），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+1。情形3.2Bi位于距离为1的相邻两点D4与D3之间。xi满足：1+2≤xi-122+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D3，D4，…，D3，D4），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+2。情形4i≡3（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D2，D1，D2，D1，…），而相邻两点D2与D1之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。 情形4.1Bi位于距离为1+2的相邻两点D2与D1之间。xi满足：0≤xi-122+2×（2+2）<1+2，线段OiBi的D点序列为（D2，D1，…，D2，D1，D2），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+1。情形4.2Bi位于距离为1的相邻两点D1与D2之间。xi满足：1+2≤xi-122+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D2，D1，…，D2，D1），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+2。 由上述讨论过程可以给出下述算法来计算[4.8.8]铺砌中椭圆E（n）的内部和边界上所含D点的个数N（n）： 1）设n为任意给定非负整数，其中n为椭圆E（n）的短半轴长，开始输入n，当n满足：0≤n-1222+1×（22+1）<22时，输出k=n-1222+1×2+1；当n满足：22≤n-1222+1×（22+1）<1+22时，输出k=n-1222+1×2+2；令初始值N=0。 2）令xi=2n2-y2i。判断i的类型，若i≡0（mod 4），进行步骤3；若i≡1（mod 4），进行步骤4；若i≡2（mod 4），进行步骤5；若i≡3（mod 4），进行步骤6。3）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i2-12，若0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1时，ai=xi-（12+22）2+2×2+1；否则ai=xi-（12+22）2+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。4）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i-12+12，若0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1时，ai=xi-（12+22）2+2×2+1；否则ai=xi-（12+22）2+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。 5）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i2-12，若0≤xi-122+2×（2+2）<1+2时，ai=xi-122+2×2+1；否则ai=xi-122+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。6）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i-12+12，若0≤xi-122+2×（2+2）<1+2时，ai=xi-122+2×2+1；否则ai=xi-122+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。7）如果i≤k，用i+1代替i，并进行步骤2，否则，停止程序并输出N×4。 4定理1的证明
由表1所给数据可以看出，随着椭圆的短半轴长n的不断增大，N（n）n2的比值逐渐趋于4312 096…。经过计算发现，[4.8.8]铺砌中的每个中心多边形都形如三角形ABC，如图3所示。每个三角形的面积S=3+224，则2πS=8π3+22=8π（3-22）=4.312 096…。因而定理1得到了验证，即：limn→∞N（n）n2=2πS。事实上，用中心多边形铺砌整个平面，则形成[4.8.8]铺砌的一个划分。证明由中心多边形的定义可知其内部和边界上仅含有一个铺砌顶点。现以任意正八边形中心为椭圆中心、作短半轴长为正整数n、长半轴长为2n的椭圆，给椭圆所覆盖的铺砌顶点所对应的中心多边形区域着色，那么着色的中心多边形区域面积之和为N（n）S。以坐标原点为椭圆中心、以短半轴长n-2+22、长半轴长2n-2+22的椭圆全部含于着色区域中。类似的以坐标原点为椭圆中心、以短半轴长n+2+22、长半轴长2n+2+22的椭圆全部覆盖着色区域，故得到下列不等式。，
即
5定理1的推广
经过对定理1的证明过程研究发现，在[4.8.8]铺砌中，当其他条件不变，椭圆的长半轴长为mn、短半轴长为n时，通过定理1的类似证明可以得到下述定理。 定理2在[4.8.8]阿基米德铺砌中，设E（n）为以正八边形中心为椭圆中心、以正整数n为短半轴长的椭圆。E（n）的内部和边界上所含D点的个数为N（n），则：limn→∞N（n）n2=mπS，其中S为对应铺砌的中心多边形的面积，m为椭圆的长半轴长与短半轴长的比值。 不管椭圆E（n）是以正八边形中心为椭圆中心、还是以正方形中心为椭圆中心、又或者是以任意顶点为椭圆中心，当n趋向于无穷时，N（n）/n2恒趋于mπ/S。而当m=1时，得到在[4.8.8]铺砌中以任意顶点或者正多边形中心为圆心、以半径为n的圆上或内部顶点数的类似公式：
其中S仍为对应铺砌的中心多边形的面积。
6結语
本文研究了在[4.8.8]阿基米德铺砌中椭圆内及其边界上的铺砌顶点数计数问题。证明了当椭圆的短半轴长为正整数n，且长半轴长与短半轴长的比值一定时，椭圆内及其边界上的总顶点数与短半轴长的平方的比值极限始终是一个常数。那么我们就不难发现，当椭圆的短半轴长为任意正数，且长半轴长与短半轴长的比值给定时，椭圆的内部或边界上的总顶点数与短半轴长的关系与定理2是相同的，相关证明可由数学分析两边夹定理推导证得。
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关键词：离散几何；阿基米德铺砌；椭圆；中心多边形；凸包
中图分类号：O157.3MSC（2010）主题分类：52C15文献标志码：A
收稿日期：20160812；修回日期：20170201；责任编辑：张军基金项目：河北省自然科学基金（A2014208095）第一作者简介：魏祥林（1974—），女，河北张家口人，教授，博士，主要从事离散与组合几何方面的研究。Email：sd_wxl@126.com
离散与组合几何[1]中一个重要研究课题是平面铺砌[2]问题，平面铺砌T={T1，T2，…}是指可数个闭集T1，T2，…构成的集族，满足R2=∪∞i=1Ti，任意两个Ti（i=1，2，…）的内部不交，闭集Ti（i=1，2，…）称为铺砌元。T中任意两个铺砌元的交或为空集，或为孤立点，或为曲线集。交点称为铺砌的顶点，交曲线称为铺砌的边，边对边铺砌指每个铺砌元是多边形且相邻的铺砌元共有一个完整的铺砌边[3]。如果铺砌中任一顶点周围的铺砌元按环形顺序依次是n1边形，n2边形，n3边形等等，就称该顶点为[n1.n2.n3]型。以正多边形为铺砌元且所有顶点属同一类型的铺砌恰好有11种[45]，这11种铺砌统称为阿基米德铺砌。在所有11种阿基米德铺砌中，由单一铺砌元生成的铺砌共有3种，分别为由正三角形生成的[3.3.3.3.3.3]铺砌，由正方形生成的[4.4.4.4]铺砌，由正六边形生成[6.6.6]铺砌。所有正多边形的顶点为铺砌顶点，所有正多边形的边为铺砌边。 从铺砌的定义看出，整数格即可视为由单位正方形构成的[4.4.4.4]阿基米德铺砌的顶点集。从这个意义出发，利用数的几何中讨论格点性质的相关手法探讨其他阿基米德铺砌的顶点性质成为一个有意义的研究课题。DING等[6]首次尝试将数的几何中关于整数格点的Pick定理推广至[6.6.6]铺砌的顶点集[6]，之后在相关问题研究中获得了一系列成果[713]。在以上研究的基础上，KOLODZIEJCZYK等[89，1419]从几何的角度证明数论中一些计数问题和面积问题。本文主要研究的是由正方形和正八边形生成的[4.8.8]铺砌上的计数问题。 河北科技大学学报2017年第2期魏祥林，等：关于[4.8.8]铺砌中椭圆上D点数的研究
[4.8.8]铺砌是一种阿基米德铺砌，如图1所示。这里为了讨论的方便，记[4.8.8]铺砌的的顶点集为D，其中的点称为D 点，本文中[4.8.8]铺砌中正八边形与正方形铺砌元的边长均取为1。在[4.8.8]阿基米德铺砌中以正八边形中心为椭圆中心、以正整数n为短半轴长、2n为长半轴长的椭圆记为E（n），E（n）的内部和边界上所含的顶点数记为N（n）。
1基本定义
定义所有正八边形铺砌元的中心组成的集合为C1，C1中的点称为C1点，定义所有正方形铺砌元的中心组成的集合为C2，C2中的点称为C2点。记D1，D2，D3，D4分别为所有C1点按向量（1+22，12）、（-1+22，12）、（-1+22，-12）、（1+22，-12）平移后所得的点的集合，如图1所示，易见D=D1∪D2∪D3∪D4。则水平方向相邻的D1与D2之间的距离为1或1+2，水平方向相邻的D3与D4之间的距离也为1或1+2。定义1在En中，若一个集合中任意2点的直线段均含于该集合中，则称该集合为凸集。称包含一个集合的最小凸集为该集合的凸包。 定义2在[4.8.8]阿基米德铺砌中，与一个铺砌顶点相关联的每个铺砌元的中心的凸包形成的图形称为该顶点对应的中心多边形。
2相关引理和主要结论
引理1[20]在铺砌边长均为1的[4.4.4.4]阿基米德铺砌中，以铺砌的任意顶点为圆心、以正整数n为半径的圆的内部和边界上所含铺砌顶点的个数记为N（n），则limn→∞N（n）n2=πS，其中S为对应铺砌的正方形铺砌元的面积。 本文研究[4.8.8]阿基米德铺砌中，落在椭圆E（n）的内部和边界上的顶点数N（n）的取值，给出相应的算法，并得出下述结论。定理1在铺砌边长均为1的[4.8.8]阿基米德铺砌中，设E（n）为以正八边形中心为椭圆中心、以正整数n为短半轴长、2n为长半轴长的椭圆。E（n）的内部和边界上所含D点的个数记为N（n），则limn→∞N（n）n2=2πS，其中S为[4.8.8]铺砌的中心多边形面积。
3N（n）的取值分析
以任一C1点为原点，过正八边形中心C1点和正方形中心C2点的水平直线为x轴、竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，记原点为O。以原点O为椭圆中心作短半轴长为正整数n、长半轴长为2n的椭圆，椭圆与x轴的交点记为A0，B0，与y轴的交点记为E，F，记A0B0所确定的直线为l0。现将l0沿y轴正向平移，记第一次遇到D 点的直线为l1，与椭圆E（n）的交点记为A1、B1，弦A1B1的中点为O1；l0继续沿y轴正向平移，记第二次遇到D点的直线为l2，与椭圆E（n）的交点记为A2，B2，弦A2B2的中点为O2。依次进行下去，记第i条直线为li，li与椭圆E（n）的交点记为Ai，Bi，弦AiBi的中点为Oi，其中i=0，1，2，…，k。即lk+1与椭圆E（n）是相离关系，由上述过程可知，所有的弦li都是平行的，而平行線l0，l1，l2，…，lk之间的距离分别是12，22，1，22，1，22，1，…。 令[a]表示a的整数部分，{a}表示a的小数部分，则{a}=a-[a]。从图2中不难发现，l0与l1之间的距离为12，li与li+2之间的距离为1+22，其中i=1，2，…，k-2，li与li+1之间的距离为1或22，其中i=1，2，…，k-1，所以根据椭圆与y轴正向的交点F所处的两条相邻平行线li与li+1之间的距离不同，分两种情形对k的取值进行讨论。 情形A包含F的2条平行线li与li+1之间的距离为22。此时i是奇数，短半轴长n满足：0≤n-1222+1×（22+1）<22时，从x轴到点F与x轴平行弦的个数k=n-1222+1×2+1。情形B包含F的两条平行线li与li+1之间的距离为1。此时i是偶数，短半轴长n满足：22≤n-1222+1×（22+1）<22+1时，从x轴到点F与x轴平行弦的个数k=n-1222+1×2+2。记弦心距|O0Oi|为yi，半弦长|OiBi|为xi，其中i=0，1，2，…，k。当i是奇数时，yi=（1+22）×i-12+12；当i是偶数时，yi=（1+22）×i2-12；由椭圆公式得xi=2n2-y2i，半弦长xi上所含D点的个数记为ai。因为长轴A0B0和短轴EF把椭圆E（n）分成关于椭圆中心完全对称的4部分，由椭圆对称性知N（n）=（a1+a2+…+ak）×4。根据直线li上分布的D点类型的不同，分以下4种情形讨论。 情形1i≡0（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D4，D3，D4，D3，…），而相邻两点D3与D4之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。 情形1.1Bi位于距离为1的相邻两点D4与D3之间。xi满足：0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1，线段OiBi的D点序列为（D4，D3，D4，…，D3，D4），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-（12+22）2+2×2+1。情形1.2Bi位于距离为1+2的相邻两点D3与D4之间。xi满足：1≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D4，D3，…，D4，D3），线段OiBi上所含的D點数为ai=xi-（12+22）2+2×2+2。情形2i≡1（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D1，D2，D1，D2，…），而相邻两点D1与D2之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。 情形2.1Bi位于距离为1的相邻两点D1与D2之间。xi满足：0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1，线段OiBi的D点序列为（D1，D2，…，D1，D2，D1），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-（12+22）2+2×2+1。情形2.2Bi位于距离为1+2的相邻两点D2与D1之间。此时xi满足：1≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D1，D2，…，D1，D2），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-（12+22）2+2×2+2。情形3i≡2（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D3，D4，D3，D4，…），而相邻两点D3与D4之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。情形3.1Bi位于距离为1+2的相邻两点D3与D4之间。xi满足：0≤xi-122+2×（2+2）<1+2，线段OiBi的D点序列为（D3，D4，…，D3，D4，D3），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+1。情形3.2Bi位于距离为1的相邻两点D4与D3之间。xi满足：1+2≤xi-122+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D3，D4，…，D3，D4），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+2。情形4i≡3（mod 4）半弦OiBi上分布的D点序列为（D2，D1，D2，D1，…），而相邻两点D2与D1之间的距离为1或1+2，根据Bi的位置不同，分两种情形对ai的取值进行讨论。 情形4.1Bi位于距离为1+2的相邻两点D2与D1之间。xi满足：0≤xi-122+2×（2+2）<1+2，线段OiBi的D点序列为（D2，D1，…，D2，D1，D2），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+1。情形4.2Bi位于距离为1的相邻两点D1与D2之间。xi满足：1+2≤xi-122+2×（2+2）<2+2，线段OiBi的D点序列为（D2，D1，…，D2，D1），线段OiBi上所含的D点数为ai=xi-122+2×2+2。 由上述讨论过程可以给出下述算法来计算[4.8.8]铺砌中椭圆E（n）的内部和边界上所含D点的个数N（n）： 1）设n为任意给定非负整数，其中n为椭圆E（n）的短半轴长，开始输入n，当n满足：0≤n-1222+1×（22+1）<22时，输出k=n-1222+1×2+1；当n满足：22≤n-1222+1×（22+1）<1+22时，输出k=n-1222+1×2+2；令初始值N=0。 2）令xi=2n2-y2i。判断i的类型，若i≡0（mod 4），进行步骤3；若i≡1（mod 4），进行步骤4；若i≡2（mod 4），进行步骤5；若i≡3（mod 4），进行步骤6。3）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i2-12，若0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1时，ai=xi-（12+22）2+2×2+1；否则ai=xi-（12+22）2+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。4）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i-12+12，若0≤xi-（12+22）2+2×（2+2）<1时，ai=xi-（12+22）2+2×2+1；否则ai=xi-（12+22）2+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。 5）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i2-12，若0≤xi-122+2×（2+2）<1+2时，ai=xi-122+2×2+1；否则ai=xi-122+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。6）计算半弦OiBi上所含的D点数ai。令yi=（1+22）×i-12+12，若0≤xi-122+2×（2+2）<1+2时，ai=xi-122+2×2+1；否则ai=xi-122+2×2+2，用N+ai代替N且进行步骤7。7）如果i≤k，用i+1代替i，并进行步骤2，否则，停止程序并输出N×4。 4定理1的证明
由表1所给数据可以看出，随着椭圆的短半轴长n的不断增大，N（n）n2的比值逐渐趋于4312 096…。经过计算发现，[4.8.8]铺砌中的每个中心多边形都形如三角形ABC，如图3所示。每个三角形的面积S=3+224，则2πS=8π3+22=8π（3-22）=4.312 096…。因而定理1得到了验证，即：limn→∞N（n）n2=2πS。事实上，用中心多边形铺砌整个平面，则形成[4.8.8]铺砌的一个划分。证明由中心多边形的定义可知其内部和边界上仅含有一个铺砌顶点。现以任意正八边形中心为椭圆中心、作短半轴长为正整数n、长半轴长为2n的椭圆，给椭圆所覆盖的铺砌顶点所对应的中心多边形区域着色，那么着色的中心多边形区域面积之和为N（n）S。以坐标原点为椭圆中心、以短半轴长n-2+22、长半轴长2n-2+22的椭圆全部含于着色区域中。类似的以坐标原点为椭圆中心、以短半轴长n+2+22、长半轴长2n+2+22的椭圆全部覆盖着色区域，故得到下列不等式。，
即
5定理1的推广
经过对定理1的证明过程研究发现，在[4.8.8]铺砌中，当其他条件不变，椭圆的长半轴长为mn、短半轴长为n时，通过定理1的类似证明可以得到下述定理。 定理2在[4.8.8]阿基米德铺砌中，设E（n）为以正八边形中心为椭圆中心、以正整数n为短半轴长的椭圆。E（n）的内部和边界上所含D点的个数为N（n），则：limn→∞N（n）n2=mπS，其中S为对应铺砌的中心多边形的面积，m为椭圆的长半轴长与短半轴长的比值。 不管椭圆E（n）是以正八边形中心为椭圆中心、还是以正方形中心为椭圆中心、又或者是以任意顶点为椭圆中心，当n趋向于无穷时，N（n）/n2恒趋于mπ/S。而当m=1时，得到在[4.8.8]铺砌中以任意顶点或者正多边形中心为圆心、以半径为n的圆上或内部顶点数的类似公式：
其中S仍为对应铺砌的中心多边形的面积。
6結语
本文研究了在[4.8.8]阿基米德铺砌中椭圆内及其边界上的铺砌顶点数计数问题。证明了当椭圆的短半轴长为正整数n，且长半轴长与短半轴长的比值一定时，椭圆内及其边界上的总顶点数与短半轴长的平方的比值极限始终是一个常数。那么我们就不难发现，当椭圆的短半轴长为任意正数，且长半轴长与短半轴长的比值给定时，椭圆的内部或边界上的总顶点数与短半轴长的关系与定理2是相同的，相关证明可由数学分析两边夹定理推导证得。
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