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摘 要：本节课是基于微课的教学设计，为了将抽象的概念简单化，在教学设计中利用第二宇宙速度问题创设情境，切入主题。通过探索实际问题与无穷限反常积分的联系，明确无穷限反常积分的应用思路和方法，进而提高学生分析和解决实际问题的能力，降低学生学习的畏惧感。同时，挖掘高等数学中课程思政元素，将高等数学上出新气象。
关键词：教学设计;高等数学;无穷限反常积分;课程思政
《高等数学》是面向高等院校理工类本科专业学生开设的一门公共基础课，着重培养学生的抽象思维、逻辑推理以及分析问题解决问题的能力，是开展数学素质教育、培养学生创新精神和创新能力的重要课程。当下，移动设备的普及以及网络信息精彩纷呈，学生总是不由自主被其吸引，就算教学经验丰富的教师要很好地把控课堂也变得非常艰难，面对新的形式，高校教师应如何进行有效地教学？
微课是近几年兴起的一种新的教学模式，它以短小精炼的形式呈现一个个知识点，将抽象的概念形象化、生动化、直观化、生活化，使得整个教学过程妙趣横生。由于它获取方式的便捷性，因此学生可以不受时间、空间的约束反复观看视频来进行学习，此外，微课时间短，学生的注意力能够短时集中，合理有效地将微课应用到教学中，有利于提高学生的综合数学素养，提高教学质量。同时，高校教师也应做好准备，抓住机遇，主动探究利用现代化信息技术有效组织课堂教学，改进教学方式、提高授课效果，提高学生的高等数学知识储备。下面，就以高等数学中无穷限反常积分教学设计为例，谈一下笔者的教学体会与实践。
一、 无穷限反常积分的教学设计
（一） 教学设计的总体思路
微课设计的初衷是将枯燥晦涩的学习内容科学化、生活化、趣味化、合理化，这种教学模式有利于激发学生学习的主动性并提高教学效果，授课教师和学生教学相长。
本节课以嫦娥奔月、牛郎织女、万户升天等古代人类对太空充满向往的故事引入新课，再通过当代的中国航空事业的发展，以及卫星对我们的生活所带来的翻天覆地的影响切入新课，引出利用火箭发射卫星案例，顺利进入今天的主题，展开教学。并以火箭发射的物理背景作为新课探究知识点，诱导学生对新问题进行分析，展开对新知识的学习。本节课主要采用启发式、探究式、研讨式教学，始终从问题出发，层层设疑，诱发学生解决问题的欲望，引导学生在不断思考中获取知识。教学中，引導学生通过小组讨论获得合理解决方案，当一个个数学问题通过学生合作探究得到答案时，定能增强学生解决问题的成就感。
（二） 教学设计的过程
1. 从生活实例出发——概念的引入
荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程”。教师在教学中始终将知识学习与生活实际紧密结合，鲜活的生活场景有助于学生将已有的知识进行转化。通过嫦娥奔月、牛郎织女、万户飞天等同学耳熟能详的故事回顾中国古人的飞天梦，利用中国古代的飞天梦和现代人的飞天梦描述，为后面的火箭发射案例的引出做铺垫，增强学生的民族自豪感。
案例引出：在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，初速度v0至少要多大？
2. 剖析问题——新知探究
通过对案例的分析得到12mv20=∫∞RmgR2x2dx，学生不难发现要求初始速度v0，必须先计算出这个无穷限积分∫∞RmgR2x2dx，这个积分结构上类似定积分，但它的积分区间是无穷区间，该如何来计算呢？
引导学生把握好两个思想，第一，转化的思想。将未知的无限区间上的积分转化为学生熟悉的有限区间上的定积分。第二，极限的思想，利用极限的思想理解无穷限积分反常积分的概念。所以这个无穷限积分∫∞RmgR2x2dx的实质就是求定积分的极限问题limx→∞∫xRmgR2x2dx，由此引出无穷区间上反常积分的概念。这部分内容的设计主要培养学生的数学思维方法，掌握问题求解的思路。
3. 定义梳理——探究实质
师生共同梳理、分析、总结无穷限反常积分的定义。在原函数存在的情况下，又利用牛—莱公式，得出结论：无穷限反常积分计算问题的实质为计算定积分的极限存在与否。同时，我们已经得出了函数f（x）定义在[a，∞）的无穷限反常积分，如果函数f（x）定义在（-∞，b]上，又该如何定义？函数f（x）定义在（-∞，∞）上，又该如何定义？
提出问题，启发学生思考探究，模拟已知的定义得出其他情形无穷限反常积分的定义。针对其他两种情形，需进一步强调定义中“定积分 极限”的思想，并且指出∫ ∞-∞f（x）dx的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关。由于∫ ∞-∞f（x）dx是由∫ ∞af（x）dx和∫b-∞f（x）dx两类无穷积分来定义的，因此，f（x）在任何有限区间v，u（-∞， ∞）上必须是可积的。
给出反常积分的几何意义。启发学生回顾定积分的几何意义为求曲边梯形面积，无穷限反常积分的几何意义如何描述？利用多媒体，给出无穷限反常积分的几何意义：求开口曲边梯形的面积。进一步加深概念的理解。
4. 实例计算——强化定义
给出经典例题：讨论无穷积分∫ ∞a1xpdx的敛散性。
引导学生计算实例，加深反常积分定义及几何意义的理解，明确并强调反常积分计算原则，并指出要计算无穷限反常积分，关键只要计算定积分的极限是否存在即可，强调p=1的时候的特殊性，得出结论：p
关键词：教学设计;高等数学;无穷限反常积分;课程思政
《高等数学》是面向高等院校理工类本科专业学生开设的一门公共基础课，着重培养学生的抽象思维、逻辑推理以及分析问题解决问题的能力，是开展数学素质教育、培养学生创新精神和创新能力的重要课程。当下，移动设备的普及以及网络信息精彩纷呈，学生总是不由自主被其吸引，就算教学经验丰富的教师要很好地把控课堂也变得非常艰难，面对新的形式，高校教师应如何进行有效地教学？
微课是近几年兴起的一种新的教学模式，它以短小精炼的形式呈现一个个知识点，将抽象的概念形象化、生动化、直观化、生活化，使得整个教学过程妙趣横生。由于它获取方式的便捷性，因此学生可以不受时间、空间的约束反复观看视频来进行学习，此外，微课时间短，学生的注意力能够短时集中，合理有效地将微课应用到教学中，有利于提高学生的综合数学素养，提高教学质量。同时，高校教师也应做好准备，抓住机遇，主动探究利用现代化信息技术有效组织课堂教学，改进教学方式、提高授课效果，提高学生的高等数学知识储备。下面，就以高等数学中无穷限反常积分教学设计为例，谈一下笔者的教学体会与实践。
一、 无穷限反常积分的教学设计
（一） 教学设计的总体思路
微课设计的初衷是将枯燥晦涩的学习内容科学化、生活化、趣味化、合理化，这种教学模式有利于激发学生学习的主动性并提高教学效果，授课教师和学生教学相长。
本节课以嫦娥奔月、牛郎织女、万户升天等古代人类对太空充满向往的故事引入新课，再通过当代的中国航空事业的发展，以及卫星对我们的生活所带来的翻天覆地的影响切入新课，引出利用火箭发射卫星案例，顺利进入今天的主题，展开教学。并以火箭发射的物理背景作为新课探究知识点，诱导学生对新问题进行分析，展开对新知识的学习。本节课主要采用启发式、探究式、研讨式教学，始终从问题出发，层层设疑，诱发学生解决问题的欲望，引导学生在不断思考中获取知识。教学中，引導学生通过小组讨论获得合理解决方案，当一个个数学问题通过学生合作探究得到答案时，定能增强学生解决问题的成就感。
（二） 教学设计的过程
1. 从生活实例出发——概念的引入
荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程”。教师在教学中始终将知识学习与生活实际紧密结合，鲜活的生活场景有助于学生将已有的知识进行转化。通过嫦娥奔月、牛郎织女、万户飞天等同学耳熟能详的故事回顾中国古人的飞天梦，利用中国古代的飞天梦和现代人的飞天梦描述，为后面的火箭发射案例的引出做铺垫，增强学生的民族自豪感。
案例引出：在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，初速度v0至少要多大？
2. 剖析问题——新知探究
通过对案例的分析得到12mv20=∫∞RmgR2x2dx，学生不难发现要求初始速度v0，必须先计算出这个无穷限积分∫∞RmgR2x2dx，这个积分结构上类似定积分，但它的积分区间是无穷区间，该如何来计算呢？
引导学生把握好两个思想，第一，转化的思想。将未知的无限区间上的积分转化为学生熟悉的有限区间上的定积分。第二，极限的思想，利用极限的思想理解无穷限积分反常积分的概念。所以这个无穷限积分∫∞RmgR2x2dx的实质就是求定积分的极限问题limx→∞∫xRmgR2x2dx，由此引出无穷区间上反常积分的概念。这部分内容的设计主要培养学生的数学思维方法，掌握问题求解的思路。
3. 定义梳理——探究实质
师生共同梳理、分析、总结无穷限反常积分的定义。在原函数存在的情况下，又利用牛—莱公式，得出结论：无穷限反常积分计算问题的实质为计算定积分的极限存在与否。同时，我们已经得出了函数f（x）定义在[a，∞）的无穷限反常积分，如果函数f（x）定义在（-∞，b]上，又该如何定义？函数f（x）定义在（-∞，∞）上，又该如何定义？
提出问题，启发学生思考探究，模拟已知的定义得出其他情形无穷限反常积分的定义。针对其他两种情形，需进一步强调定义中“定积分 极限”的思想，并且指出∫ ∞-∞f（x）dx的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关。由于∫ ∞-∞f（x）dx是由∫ ∞af（x）dx和∫b-∞f（x）dx两类无穷积分来定义的，因此，f（x）在任何有限区间v，u（-∞， ∞）上必须是可积的。
给出反常积分的几何意义。启发学生回顾定积分的几何意义为求曲边梯形面积，无穷限反常积分的几何意义如何描述？利用多媒体，给出无穷限反常积分的几何意义：求开口曲边梯形的面积。进一步加深概念的理解。
4. 实例计算——强化定义
给出经典例题：讨论无穷积分∫ ∞a1xpdx的敛散性。
引导学生计算实例，加深反常积分定义及几何意义的理解，明确并强调反常积分计算原则，并指出要计算无穷限反常积分，关键只要计算定积分的极限是否存在即可，强调p=1的时候的特殊性，得出结论：p