论文部分内容阅读
[摘 要]根据概率论与数理统计课程的教学经验和发展现状，在实际教学经验的基础上，提出了循序渐进式的系统教学方法。以概率统计中的古典概型和极大似然估计两个知识点为例，演示了如何将复杂的问题分解为几个简单问题，然后再逐一解决，体现了该方法化整为零、循序渐进、易于理解和接受的特点。
[关键词]渐进式 超骰子 古典概型 极大似然
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）17-0095-03
《概率论与数理统计》是一门集理论与实践于一体的综合性、交叉性学科，由于其近年来突飞猛进的发展，概率论与数理统计的理论方法已广泛应用于自然科学、社会科学、工农业生产等各个领域。可以说，凡是有数据出现的地方，都不同程度地应用到了概率统计提供的模型与方法，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等。这就要求教师在给学生传授概率统计时不仅要具有系统性、完整性、前瞻性，而且还要具有指导性、实用性和创造性。但从目前的传统教学方法来看，已经严重滞后难以保证达到要求。因此，尽快提高《概率论与数理统计》课程的教学水平和教学质量，已成为任课教师必须研究的一个重要课题。本文根据多年从事《概率论与数理统计》的教学探索和研究，特提出一种适合本科学生的“渐进式系统教学法”。例如在讲解复杂的数学问题或者难以理解的数学思想时，学生常常感到难以理解，不妨将问题简单化，再由简到难逐步推广，直至解决复杂问题。下面以两类问题为例，说明渐进式系统教学方法的应用。
一、超骰子问题
在《概率论与数理统计》课程的教学中，古典概型中的概率计算问题既是重点也是难点。随机事件A的概率计算公式很简单：P（A）=，其中n是样本空间中的基本事件数，k是事件A所包含的基本事件数。难点在于如何利用排列组合方法，准确地计算n和k。以超骰子问题为例，将一个复杂问题剖分成几个简单问题，使学生一步步理解，循序渐进到清楚问题脉络，能够自主分析，并能够将该方法应用到其他相似问题上。
普通骰子：每个面分别标有1、2、…、6点，质地均匀的正六面体。
超骰子：每个面分别标有1、2、…、p点， 质地均匀的正p面体（p是大于1的整数）。
即一次掷一颗普通骰子，有6种不同的结果；一次掷一颗超骰子，有p种不同的结果。
问题：一次掷n颗超骰子，观察出现的点数，有几种不同结果？
这个问题初看起来很难，无从下手。采用循序渐进的思想，可以将问题简单化。如先令p=6，n，=2，3，4…然后再考虑p为一般情况，亦即将该问题分解为4个子问题，其中问题的难度逐渐提高。从下面4个难度递进的问题求解过程，我们可以看到解决复杂问题的循序渐进的方法。
问题1.一次掷两颗骰子，有几种不同结果？
答：21种。
理由：假定第一颗骰子的点数为i，第二颗骰子的点数为j，两颗骰子的情况可用表示（i，j），全部可能的情况可表示如下表
问题2.一次掷三颗骰子，观察出现的点数，有几种不同结果？
答：56种。
如果用上述列矩阵的方法，则需要列一个三维矩阵，很不方便，而且也不便于推广，因此需要另辟蹊径，不妨这样考虑：
（a+b）n+5=（a+b）6（a+b）n-1
比较上式中anb5的系数即可。
问题4.一次掷n颗超骰子，有几种不同结果？
同理，上式的计算可以由比较下式
（a+b）n+p-1=（a+b）p（a+b）n-1
的anbp-1的系数得到。
必须注意，各种结果并不都是等可能出现的。拿两个普通骰子为例，出现两个1点的概率是1/36， 但是出现一个1点和一个2点的概率却不是1/36， 而是1/18，因为事件---“一个骰子为1点，另一个骰子为2点”含有两个基本事件“（1，2）”和“（2，1）”。
二、极大似然估计问题
数理统计的教学中，让学生理解极大似然估计（MLE- Maximum Likelihood Estimation）方法，是一件不容易的事。如果能够以学生身边常见的场景为例，将极大似然估计法的思想分解成若干易于理解的子问题，使学生在不知不觉中理解和掌握极大似然估计法，从而达到理解复杂的数学思想和方法，就可以避免学生对概率统计内容望而生畏，产生厌学抵触情绪。这种教学模式，实际上也是行为主义学习理论[2]所倡导的。
例如，设X1，X2，…，Xn是取自总体X～B（1，p）的一个样本，求参数p的极大似然估计值。
上述解题过程，显示了求解未知参数p的极大似然估计值的标准解题思路。但是，学生无法理解为什么要这样做。学生疑惑的是：为什么要求那样的似然函数？为什么要求那样的p，使似然函数达到最大值？
通过下面几个逐步递进的问题讲解，可以为学生释疑。
问题1. 某大学寝室里住着小张、小李和小孙，其中小李最勤快，一年中，寝室里一多半的地都是他扫的，而小孙比较懒，他扫的地还不到十分之一。一天，小张从外面回宿舍，看见寝室很干净，刚刚被打扫过。现在让小张猜，地是谁扫的？
他自然会想到地是小李扫的。
小张的思考已经体现了极大似然法的推断思想。
下面我们再看一个例子，进一步体会极大似然法的基本思想。
问题2. 设X～0 11-p p， p未知.设想我们事先知道p只有两种可能：p=0.8或p=0.2。
做一次试验，得到的结果是0，如何估计p？
很显然，估计p=0.2比较妥当。
如今重复试验3次，得结果：0，0，0。
问：应如何估计p？
由概率论的知识，令3次试验中出现“1”的次数为随机变量Y，则Y～B（3，p）
将计算结果列表如下：
p=0.8 或p=0.2，应如何估计p？
现在的事实是出现了三个“0”，即事件“Y=0”出现了， 从表中第一、二列可知，当p=0.2时，P（Y=0）=0.512，当p=0.8时，P（Y=0）=0.008，两种可能的情况中，p=0.2更接近实际情况，所以应该估计p=0.2，这就是“极大似然”——最大程度地跟实际情况接近。
问题3. 承接问题2，如果有p1，p2，…，pm可供选择， 又如何合理地选p呢？ 若重复进行试验n次，结果“1”出现k次（0≤k≤n）。
我们计算一切可能的
P（Y=k；pi）=Qi，i=1，2，…，m
从中选取使Qi达到最大的pi作为p的估计。
问题4. 如果只知道0 注意到
是p的函数，可用求导的方法找到使f（p）达到极大值的p。
但因f（p）与ln f（p）达到极大值的自变量相同，故问题可转化为求ln f（p）的极大值点。
以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想。
三、结论
把一个疑难的、复杂的、令人费解的问题，拆分成几个呈递进关联的简单的问题来处理，将使理解变得非常容易和轻松，令学生轻易掌握。这种化整为零的、循序渐进的解决问题的方法，一旦被学生所掌握，必将为他们今后的学习和工作增添解决困难的思路和信心。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 何书元.概率引论[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2] 吴疆，张攀峰，常樱.现代教育技术教程[M].北京：人民邮电出版社，2009.
[3] AlbertShiryaev.Probability[M].NewYork：Springer-Verlag，1996.
[责任编辑：林志恒]
[关键词]渐进式 超骰子 古典概型 极大似然
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）17-0095-03
《概率论与数理统计》是一门集理论与实践于一体的综合性、交叉性学科，由于其近年来突飞猛进的发展，概率论与数理统计的理论方法已广泛应用于自然科学、社会科学、工农业生产等各个领域。可以说，凡是有数据出现的地方，都不同程度地应用到了概率统计提供的模型与方法，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等。这就要求教师在给学生传授概率统计时不仅要具有系统性、完整性、前瞻性，而且还要具有指导性、实用性和创造性。但从目前的传统教学方法来看，已经严重滞后难以保证达到要求。因此，尽快提高《概率论与数理统计》课程的教学水平和教学质量，已成为任课教师必须研究的一个重要课题。本文根据多年从事《概率论与数理统计》的教学探索和研究，特提出一种适合本科学生的“渐进式系统教学法”。例如在讲解复杂的数学问题或者难以理解的数学思想时，学生常常感到难以理解，不妨将问题简单化，再由简到难逐步推广，直至解决复杂问题。下面以两类问题为例，说明渐进式系统教学方法的应用。
一、超骰子问题
在《概率论与数理统计》课程的教学中，古典概型中的概率计算问题既是重点也是难点。随机事件A的概率计算公式很简单：P（A）=，其中n是样本空间中的基本事件数，k是事件A所包含的基本事件数。难点在于如何利用排列组合方法，准确地计算n和k。以超骰子问题为例，将一个复杂问题剖分成几个简单问题，使学生一步步理解，循序渐进到清楚问题脉络，能够自主分析，并能够将该方法应用到其他相似问题上。
普通骰子：每个面分别标有1、2、…、6点，质地均匀的正六面体。
超骰子：每个面分别标有1、2、…、p点， 质地均匀的正p面体（p是大于1的整数）。
即一次掷一颗普通骰子，有6种不同的结果；一次掷一颗超骰子，有p种不同的结果。
问题：一次掷n颗超骰子，观察出现的点数，有几种不同结果？
这个问题初看起来很难，无从下手。采用循序渐进的思想，可以将问题简单化。如先令p=6，n，=2，3，4…然后再考虑p为一般情况，亦即将该问题分解为4个子问题，其中问题的难度逐渐提高。从下面4个难度递进的问题求解过程，我们可以看到解决复杂问题的循序渐进的方法。
问题1.一次掷两颗骰子，有几种不同结果？
答：21种。
理由：假定第一颗骰子的点数为i，第二颗骰子的点数为j，两颗骰子的情况可用表示（i，j），全部可能的情况可表示如下表
问题2.一次掷三颗骰子，观察出现的点数，有几种不同结果？
答：56种。
如果用上述列矩阵的方法，则需要列一个三维矩阵，很不方便，而且也不便于推广，因此需要另辟蹊径，不妨这样考虑：
（a+b）n+5=（a+b）6（a+b）n-1
比较上式中anb5的系数即可。
问题4.一次掷n颗超骰子，有几种不同结果？
同理，上式的计算可以由比较下式
（a+b）n+p-1=（a+b）p（a+b）n-1
的anbp-1的系数得到。
必须注意，各种结果并不都是等可能出现的。拿两个普通骰子为例，出现两个1点的概率是1/36， 但是出现一个1点和一个2点的概率却不是1/36， 而是1/18，因为事件---“一个骰子为1点，另一个骰子为2点”含有两个基本事件“（1，2）”和“（2，1）”。
二、极大似然估计问题
数理统计的教学中，让学生理解极大似然估计（MLE- Maximum Likelihood Estimation）方法，是一件不容易的事。如果能够以学生身边常见的场景为例，将极大似然估计法的思想分解成若干易于理解的子问题，使学生在不知不觉中理解和掌握极大似然估计法，从而达到理解复杂的数学思想和方法，就可以避免学生对概率统计内容望而生畏，产生厌学抵触情绪。这种教学模式，实际上也是行为主义学习理论[2]所倡导的。
例如，设X1，X2，…，Xn是取自总体X～B（1，p）的一个样本，求参数p的极大似然估计值。
上述解题过程，显示了求解未知参数p的极大似然估计值的标准解题思路。但是，学生无法理解为什么要这样做。学生疑惑的是：为什么要求那样的似然函数？为什么要求那样的p，使似然函数达到最大值？
通过下面几个逐步递进的问题讲解，可以为学生释疑。
问题1. 某大学寝室里住着小张、小李和小孙，其中小李最勤快，一年中，寝室里一多半的地都是他扫的，而小孙比较懒，他扫的地还不到十分之一。一天，小张从外面回宿舍，看见寝室很干净，刚刚被打扫过。现在让小张猜，地是谁扫的？
他自然会想到地是小李扫的。
小张的思考已经体现了极大似然法的推断思想。
下面我们再看一个例子，进一步体会极大似然法的基本思想。
问题2. 设X～0 11-p p， p未知.设想我们事先知道p只有两种可能：p=0.8或p=0.2。
做一次试验，得到的结果是0，如何估计p？
很显然，估计p=0.2比较妥当。
如今重复试验3次，得结果：0，0，0。
问：应如何估计p？
由概率论的知识，令3次试验中出现“1”的次数为随机变量Y，则Y～B（3，p）
将计算结果列表如下：
p=0.8 或p=0.2，应如何估计p？
现在的事实是出现了三个“0”，即事件“Y=0”出现了， 从表中第一、二列可知，当p=0.2时，P（Y=0）=0.512，当p=0.8时，P（Y=0）=0.008，两种可能的情况中，p=0.2更接近实际情况，所以应该估计p=0.2，这就是“极大似然”——最大程度地跟实际情况接近。
问题3. 承接问题2，如果有p1，p2，…，pm可供选择， 又如何合理地选p呢？ 若重复进行试验n次，结果“1”出现k次（0≤k≤n）。
我们计算一切可能的
P（Y=k；pi）=Qi，i=1，2，…，m
从中选取使Qi达到最大的pi作为p的估计。
问题4. 如果只知道0
是p的函数，可用求导的方法找到使f（p）达到极大值的p。
但因f（p）与ln f（p）达到极大值的自变量相同，故问题可转化为求ln f（p）的极大值点。
以上这种选择一个参数使得实验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想。
三、结论
把一个疑难的、复杂的、令人费解的问题，拆分成几个呈递进关联的简单的问题来处理，将使理解变得非常容易和轻松，令学生轻易掌握。这种化整为零的、循序渐进的解决问题的方法，一旦被学生所掌握，必将为他们今后的学习和工作增添解决困难的思路和信心。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 何书元.概率引论[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2] 吴疆，张攀峰，常樱.现代教育技术教程[M].北京：人民邮电出版社，2009.
[3] AlbertShiryaev.Probability[M].NewYork：Springer-Verlag，1996.
[责任编辑：林志恒]