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摘 要：反思是高中数学课堂解题教学中不可或缺的重要环节。文章主要阐述数学解题完成后，如何引导学生对解题条件、解题方法、解题结果进行反思。运用具体实例分析，引导学生解题时要善于挖掘题中的隐含条件，通过一题多解、一题多变及多题一解的反思训练，找到解题规律，掌握解题方法，提升解题经验；最后再对解题结果进行反思，检验解题结果的完备性与合理性。这样不仅提高学生的解题能力，还培养学生的发散思维能力与创造性思维能力。
关键词：高中数学；课堂教学；反思；解题条件；解题方法；解题结果
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）22-0062-02
数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”适当反思，能提高学生的理解能力和思维能力。反思就是学生在学习过程中不断进行概括、总结，对自己思维过程与结果进行再认识、再加工的检验过程，是学习中不可缺少的重要一环。习题是数学的“灵魂”，数学的学习是离不开解题的。在进行高中数学解题教学时，教师要引导学生积极地进行解题后的反思：反思题目的解题条件是否正确使用，反思题目是否有一题多解、一题多变，反思解题结果是否完整，结论是否正确等问题。在一系列的解题反思过程中，重视提高学生的解题能力，培养学生良好的思维品质与学习习惯。
一、反思解题条件
解题时的关键前提是看清题目的条件，然后寻找已知条件与问题之间的联系，利用学过的知识方法进行解析。有些学生在解题过程中，经常忽略题中的重要条件或对这些条件重视程度不够，导致解题结果失误。因此，在解题教学过程中，注重引导学生反思解题条件，是十分重要的。
通过以上例子可以看出，在解题过程中认真观察题目的解题条件是多么重要。不仅要考虑直观给出的条件，还得挖掘题目中隐含的条件。因此，教师应该教会学生如何反思解题条件，重视解题条件的运用，保证解题顺利进行。
二、反思解题方法
学生做完一道题后，不仅要简单回顾推理过程或检验运算结果，还应根据题目特点进行观察与对比，反思本题还有没有新的解法，若有另解，则应分析比较哪种解法更优；本题跟前面做过的什么题目相似，能否总结一下此类题目的一般规律；本题还能否进行变式、扩展和引申等等。要让学生开阔思维，理清解题思路，找到解题规律，权衡解法优劣，使解题能力更上一层楼。
1. 一题多解
一个数学问题，从不同角度考虑，往往有不同的解法，这就是常讲的“一题多解”。一题多解可以培养学生的发散思维能力，让学生体会不同解法的优劣，有利于调动学生学习积极性。
以上一题多解，不仅看到知识的内在关联、灵活转化和巧妙运用，还复习了证明等式的思路与方法。通过一题多解，有利于培养学生的创造性思维，使学生不仅仅满足得到一道习题的答案，而去追求更简便、更创新的解题方法。适当的一题多解，可以激发学生再发现与再创造的欲望，防止出现思维定式，锻炼思维的广阔性、灵活性，从而提高学生解决数学问题的能力。
2. 多题一解
3. 一题多变
有些数学问题可以从另外的角度提出问题，或者改变一下条件，又可以变成一道新的问题，这种方法称为“一题多变”。一题多变能让学生更好地理解问题的本质，增强创新思维能力，还能帮助学生对知识的系统性、特殊性与广泛性进行深刻理解。例如：求二次函数f（x）=x2-2x-3的最值，可以做如下的变式。变式一：当x∈[-2，2]时，求f（x）=x2-2x-3的最值。变式二：当x∈[-a，a]时，求f（x）=x2-2x-3的最值。变式三：当x∈[-2，5]时，求f（x）=x2-2x-3的最值。这时候，启发学生深入思考，经过一定时间的反思，学生又提出了以下变式：当x∈[0，2]时，函数y=x2-2ax a2-2a 2有最小值5，求实数a的值。通过对一题多变的反思，可以对某些知识点进行系统分析，挖掘知识间的内在关联，使知识系统化，提高学生审题能力、应变能力。重视一题多变的训练，可以促进知识整合，提升综合运用能力，达到事半功倍的效果。
三、反思解题结果
数学教育家波利亚说过，聪明的人从结果开始。通过对结果的反思，能发现和纠正运算中的失误，或对解题结果的完备性、合理性进行检验，找出问题所在，然后进行适当的调整。教学中应有意识地选用一些易错题，引导学生进行解题后的反思。
1. 反思解题结果的完备性
在完成数学解题后，老师应该引导学生认真思考解题结果是否完善，有没有遗漏的情况，以保证解题的正确性。如下面一个问题，已知圆C：x2 y2-2x-7=0，求过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程。学生很容易发生漏解的情况，多数学生这样解答：设过点P的直线方程为y-4=k（x-3），然后求出圆心（1，0）到直线的距离d=，最后利用弦心距、半径及半弦长构成的勾股定理关系，解得k=，代入所设直线方程得到3x-4y 7=0。而这个结果是有遗漏的，如果结合一下图形进行反思推理，就可以发现还有一条斜率不存在的直线符合题意，即x=3。像这样的题目，学生容易受固定思维的影响，认为直线斜率一定存在。因此，教师在解析几何问题的讲解时，应让学生多动手作图，把抽象的问题具体化，并对解题结果进行反思对比，保证解题结果的完备性及正确性。
2. 反思解题结果的合理性
有些同学做作业只追求速度不注重质量，解完题目就不予理睬，由此产生许多意想不到的错误。比如，结论荒唐、不符合实际要求，以特殊代替一般，以日常概念代替科学概念等。因此，在解题教学时，要引导学生认真对结果的合理性进行反思。例如：在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A。有同学给出这样的解题过程：由余弦定理得c2=a2 b2-2abcos15°=8-4，所以，又由正弦定理得sinA，而0° 四、结束语
总之，解题后的反思是十分重要的，如果不主动反思，解题能力和思维能力很难获得质的提升。学生在解题完成后，应当认真地对题目进行反思总结，不断提出问题与解决问题，使自己掌握更多的数学知识和能力。解题后的反思与交流，让学生获得的不仅是数学知识与方法，还有思维能力的锻炼与提升，情感的交流与碰撞等等。所以，教师在解题教学中应重视反思，鼓励学生反思，并巧妙利用反思，使数学课堂跌宕起伏，激发学生的学习兴趣，让学生乐于解题，善于解题，在解题反思中体验成功的喜悦，获得学习上的突破与进步。
参考文献：
[1]黄尉.培养学生反思能力的实践[J].数学教学通讯，2006（06）.
[2]钟剑.解题后反思，思什么[J].数理化学习，2011（01）.
[3]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[4]荆志强.幸福地做老师——我的生本教育实践之路[M].南京：江苏人民出版社，2012.
[5]邓喜才，夏顺友，陈治友，欧阳建新.弗赖登塔尔的数学教育理论与有效解题教学[J].贵阳学院学报：自然科学版，2015（03）.
关键词：高中数学；课堂教学；反思；解题条件；解题方法；解题结果
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）22-0062-02
数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”适当反思，能提高学生的理解能力和思维能力。反思就是学生在学习过程中不断进行概括、总结，对自己思维过程与结果进行再认识、再加工的检验过程，是学习中不可缺少的重要一环。习题是数学的“灵魂”，数学的学习是离不开解题的。在进行高中数学解题教学时，教师要引导学生积极地进行解题后的反思：反思题目的解题条件是否正确使用，反思题目是否有一题多解、一题多变，反思解题结果是否完整，结论是否正确等问题。在一系列的解题反思过程中，重视提高学生的解题能力，培养学生良好的思维品质与学习习惯。
一、反思解题条件
解题时的关键前提是看清题目的条件，然后寻找已知条件与问题之间的联系，利用学过的知识方法进行解析。有些学生在解题过程中，经常忽略题中的重要条件或对这些条件重视程度不够，导致解题结果失误。因此，在解题教学过程中，注重引导学生反思解题条件，是十分重要的。
通过以上例子可以看出，在解题过程中认真观察题目的解题条件是多么重要。不仅要考虑直观给出的条件，还得挖掘题目中隐含的条件。因此，教师应该教会学生如何反思解题条件，重视解题条件的运用，保证解题顺利进行。
二、反思解题方法
学生做完一道题后，不仅要简单回顾推理过程或检验运算结果，还应根据题目特点进行观察与对比，反思本题还有没有新的解法，若有另解，则应分析比较哪种解法更优；本题跟前面做过的什么题目相似，能否总结一下此类题目的一般规律；本题还能否进行变式、扩展和引申等等。要让学生开阔思维，理清解题思路，找到解题规律，权衡解法优劣，使解题能力更上一层楼。
1. 一题多解
一个数学问题，从不同角度考虑，往往有不同的解法，这就是常讲的“一题多解”。一题多解可以培养学生的发散思维能力，让学生体会不同解法的优劣，有利于调动学生学习积极性。
以上一题多解，不仅看到知识的内在关联、灵活转化和巧妙运用，还复习了证明等式的思路与方法。通过一题多解，有利于培养学生的创造性思维，使学生不仅仅满足得到一道习题的答案，而去追求更简便、更创新的解题方法。适当的一题多解，可以激发学生再发现与再创造的欲望，防止出现思维定式，锻炼思维的广阔性、灵活性，从而提高学生解决数学问题的能力。
2. 多题一解
3. 一题多变
有些数学问题可以从另外的角度提出问题，或者改变一下条件，又可以变成一道新的问题，这种方法称为“一题多变”。一题多变能让学生更好地理解问题的本质，增强创新思维能力，还能帮助学生对知识的系统性、特殊性与广泛性进行深刻理解。例如：求二次函数f（x）=x2-2x-3的最值，可以做如下的变式。变式一：当x∈[-2，2]时，求f（x）=x2-2x-3的最值。变式二：当x∈[-a，a]时，求f（x）=x2-2x-3的最值。变式三：当x∈[-2，5]时，求f（x）=x2-2x-3的最值。这时候，启发学生深入思考，经过一定时间的反思，学生又提出了以下变式：当x∈[0，2]时，函数y=x2-2ax a2-2a 2有最小值5，求实数a的值。通过对一题多变的反思，可以对某些知识点进行系统分析，挖掘知识间的内在关联，使知识系统化，提高学生审题能力、应变能力。重视一题多变的训练，可以促进知识整合，提升综合运用能力，达到事半功倍的效果。
三、反思解题结果
数学教育家波利亚说过，聪明的人从结果开始。通过对结果的反思，能发现和纠正运算中的失误，或对解题结果的完备性、合理性进行检验，找出问题所在，然后进行适当的调整。教学中应有意识地选用一些易错题，引导学生进行解题后的反思。
1. 反思解题结果的完备性
在完成数学解题后，老师应该引导学生认真思考解题结果是否完善，有没有遗漏的情况，以保证解题的正确性。如下面一个问题，已知圆C：x2 y2-2x-7=0，求过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程。学生很容易发生漏解的情况，多数学生这样解答：设过点P的直线方程为y-4=k（x-3），然后求出圆心（1，0）到直线的距离d=，最后利用弦心距、半径及半弦长构成的勾股定理关系，解得k=，代入所设直线方程得到3x-4y 7=0。而这个结果是有遗漏的，如果结合一下图形进行反思推理，就可以发现还有一条斜率不存在的直线符合题意，即x=3。像这样的题目，学生容易受固定思维的影响，认为直线斜率一定存在。因此，教师在解析几何问题的讲解时，应让学生多动手作图，把抽象的问题具体化，并对解题结果进行反思对比，保证解题结果的完备性及正确性。
2. 反思解题结果的合理性
有些同学做作业只追求速度不注重质量，解完题目就不予理睬，由此产生许多意想不到的错误。比如，结论荒唐、不符合实际要求，以特殊代替一般，以日常概念代替科学概念等。因此，在解题教学时，要引导学生认真对结果的合理性进行反思。例如：在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A。有同学给出这样的解题过程：由余弦定理得c2=a2 b2-2abcos15°=8-4，所以，又由正弦定理得sinA，而0°
总之，解题后的反思是十分重要的，如果不主动反思，解题能力和思维能力很难获得质的提升。学生在解题完成后，应当认真地对题目进行反思总结，不断提出问题与解决问题，使自己掌握更多的数学知识和能力。解题后的反思与交流，让学生获得的不仅是数学知识与方法，还有思维能力的锻炼与提升，情感的交流与碰撞等等。所以，教师在解题教学中应重视反思，鼓励学生反思，并巧妙利用反思，使数学课堂跌宕起伏，激发学生的学习兴趣，让学生乐于解题，善于解题，在解题反思中体验成功的喜悦，获得学习上的突破与进步。
参考文献：
[1]黄尉.培养学生反思能力的实践[J].数学教学通讯，2006（06）.
[2]钟剑.解题后反思，思什么[J].数理化学习，2011（01）.
[3]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[4]荆志强.幸福地做老师——我的生本教育实践之路[M].南京：江苏人民出版社，2012.
[5]邓喜才，夏顺友，陈治友，欧阳建新.弗赖登塔尔的数学教育理论与有效解题教学[J].贵阳学院学报：自然科学版，2015（03）.