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摘 要：中职数学对于中职生来说，内容相对抽象、公式相对复杂、记忆和理解都相对困难，加上中职生原本薄弱的数学基础，使得中职数学教学步履维艰.本文从非形式化的角度探讨中职数学教学更有效的教学方法.
关键词：中职；数学；非形式化；不等式；形象化
众所周知，中职数学的内容相比初中数学已经有了较大幅度的提高，形式化的数学结果已经大量在教材中出现，诸如函数概念、不等式的认识等对于中职生而言都不容易理解.中职生的数学基础尤其薄弱，很多中职生连最基本的数学运算、算式化简都无法独立完成，这就导致数学教师教学显得步履维艰.
心理学家布鲁诺在职业教学的困境时说起：长时间走访后，我发现在职业学院的学生和普通学校的学生不能采用同一方式教学，职业学校学生更要注重知识接受的形态和过程，以及知识相关的具体形态化问题，这就势必导致教学倾向于非形式化，比较符合职业学院学生的心理认知特点. 从布鲁诺的话中，笔者认识到职业教学需要尊崇中职学生心理学的特点，结合数学形式化比较强烈的特征，以非形式化的教学方式进行数学教学才是关键.
[?] 概念教学中的非形式化
中职数学对于概念教学要紧紧抓住非形式化的特征，因为过于抽象的表征对于中职教学而言是不适合的，笔者尊崇心理学家布鲁诺的教学建议，常常用非形式化、形象化的教学特征来进行数学概念教学. 如：在《不等式的概念教学》这一认知章节中，笔者充分运用了各种情境化、形象化的手段，让教学过程更符合中职生认知心理.
案例1：《不等式的基本性质》概念教学
环节1：课堂引入
自然层面案例：“两岸青山相对出，远近高低各不同”.
人文层面案例：测量长度均为4米的两根木棍，精确到毫米是否完全一样呢？（不等是绝对的）
目的：使学生认识到不等的无处不在，了解为什么要学习不等式性质.
环节2：数量关系（投影）
给出几幅图，请同学们阅读其中的数量关系.
图1，太平洋上热带风暴.
图2，糖水加糖变甜.
图3，航海三角形.
图4，太湖水位.
图5，某品牌酸奶中脂肪的含量f应不少于3.6%，蛋白质的含量p应不少于1.8%.
目的：通过大量的实际图例，使得学生了解其中存在的数据关系、数量关系，进一步表示这些数量关系用到了什么样的数学知识？显然是不等式，这是不等式学习的价值和意义所在. 将数学问题从形象化的特征中抽取出来，体现了无处不在的不等性质.
环节3：感受不等
学生：可以用不等式或不等式组来表示. （用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式）
教师：能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的目的.
（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）
图4的表达式关注a≤x≤b的使用，图5表达式若写成：f≥3.6%或p≥1.8%是错误的，应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为f≥3.6%，p≥1.8%.（也可以表示成f≥3.6%且p≥1.8%）
目的：通过幻灯投影，将不等式的表达引入到课堂教学中为进一步引进不等式性质打下基础.
环节4：基本性质
1986年前苏联切尔诺贝利核电站发生泄漏，产生大量核辐射. 核辐射主要存在三种射线：ALPHA（阿尔法）射线、BETA（贝塔）射线、GAMMA（伽玛）射线. 我们不妨记ALPHA（阿尔法）粒子的质量为a，BETA（贝塔）粒子的质量为b，GAMMA（伽玛）粒子的质量为c，三者的质量关系是a>b，b>c，那么：
（1）考虑到a>b，若利用天平称量两种粒子的质量，显然贝塔粒子一端下降，交换两种粒子的位置，则另一端下降，于是可以得到性质（1）：若a>b，则b （2）将上述三种粒子质量关系进行传递a>b，b>c，得到性质（2）：若a>b，b>c，则a>c. （传递性）
（3）请大家在天平两端放上ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子各一枚，然后同时各自加上一枚GAMMA（伽玛）粒子，则天平平衡性保持不变，得到性质（3）：若a>b，则a c>b c. （可加性）
（4）学生仿：在天平两端放上ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子各一枚，然后在重的一边加上伽马粒子一枚，轻的一端加上更轻的代尔塔粒子一枚，则可得性质（4）：若a>b，c>d，则a c>b d.（同向不等式可加性）
（5）若取出m（m>0）个ALPHA（阿尔法）粒子与BETA（贝塔）粒子，按类别放在天平两端，则显然ma>mb，得到性质（5）：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac （6）若取m（m>0）个相同的ALPHA（阿尔法）粒子与n（n>0）个相同的BETA（贝塔）粒子，且m>n>0，则显然ma>nb，得到性质（6）：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd. （同向正值不等式可乘性）
（7）当能量很大的时候，ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子都会发生裂变，它们裂变的速度不同，不妨设每次每个ALPHA（阿尔法）粒子分裂为3个小ALPHA（阿尔法）粒子，每次每个BETA（贝塔）粒子分裂为2个小的BETA（贝塔）粒子，经过n-1（n∈N，n≥2）次分裂之后，得两种粒子个数分别为3n、2n个，由指数函数图象可知，3n>2n（n∈N，n≥2），得到性质（7）：若a>b>0，则an>bn（n∈N，n≥2）. （乘方法则） （8）当能量不足的时候，ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子都会发生聚合，它们聚合的速度也不同，3个小ALPHA（阿尔法）粒子聚合成一个大的ALPHA（阿尔法）粒子，2个BETA（贝塔）粒子聚合成一个大的BETA（贝塔）粒子，若现在两种粒子个数分别为3n、2n个，且3n>2n（n∈N，n≥2），经过n-1（n∈N，n≥2）次聚合之后，得3>2，我们令a=3n、b=2n，且a>b>0，则3=a>b=2，得到性质（8）：若a>b>0，则>（n∈N，n≥2）. （开方法则）
说明：本节中，笔者将不等式的常用八个性质关系，用问题串的形式进行了整合，以核辐射的问题为载体，以非形式化的方式再现了性质之间的前后联系、呼应，中职生对于形象化的数学学习产生了极大的兴趣，进而让不等式性质的教学得到了一定充分的实施.
[?] 解题教学中的非形式化
解题是数学教学不可回避的重要内容，介于中职生对于抽象、形式化数学学习的理解存在缺失，笔者认为以非形式化的解题方式有利于抽象数学问题的解决和讲解、传授.来看一个案例，
案例2：已知指数函数y=g（x）满足g（-2）=，又函数f（x）=是定义域为R的奇函数，求函数f（x）的解析式.
分析：本题主要考查学生对指数函数和奇函数概念的理解，考查学生的计算能力和估算能力及问题转化的能力. 笔者通过阅卷发现许多学生对本题是利用奇函数的定义来求m，n的，但由于刚好击中了学生的“软肋”：薄弱的计算能力，好多学生都算不下去，最终都“无功而返”.事实上，通过定义来计算m，n是一种“通性通法”，学生应加以掌握，下面给出他们的完整解法：因f（x）=-f（-x）对?x∈R恒成立，故=-，即（-2x n）（2-x 1 m）=（2x 1 m）（2-x-n）对?x∈R恒成立，整理得：2（mn-2） （2n-m）（2x 2-x）=0，所以，mn-2=0，2n-m=0， 即m=2，n=1，或m=-2，n=-1.因f（x）的定义域为R，故函数f（x）的解析式为f（x）=.
辨析：通过上述教学方式，笔者发现学生解决类似问题依旧不能相当熟练，究其原因是学生无法对于任意的x进行处理，因此中职生在解决此类问题的时候，宜采用非形式化的方式，即利用f（-1）=-f（1）就可以轻松解决中职生无法化简带有参数的问题，提高了问题解决的效率.
总之，非形式化是一种教学的手段，它恰当的使用有利于中职生学习抽象的数学、形式化的数学，笔者对于此做了概念教学、解题教学的初次探索，笔者认为这种探索是符合学生心理学习特征的. 笔者认为，中职数学的学习通过非形式化手段上升到形式化的结果是正常过程，但也不能完全一味的非形式化，两者的适度有机结合是有利于中职数学教学的高效开展.
关键词：中职；数学；非形式化；不等式；形象化
众所周知，中职数学的内容相比初中数学已经有了较大幅度的提高，形式化的数学结果已经大量在教材中出现，诸如函数概念、不等式的认识等对于中职生而言都不容易理解.中职生的数学基础尤其薄弱，很多中职生连最基本的数学运算、算式化简都无法独立完成，这就导致数学教师教学显得步履维艰.
心理学家布鲁诺在职业教学的困境时说起：长时间走访后，我发现在职业学院的学生和普通学校的学生不能采用同一方式教学，职业学校学生更要注重知识接受的形态和过程，以及知识相关的具体形态化问题，这就势必导致教学倾向于非形式化，比较符合职业学院学生的心理认知特点. 从布鲁诺的话中，笔者认识到职业教学需要尊崇中职学生心理学的特点，结合数学形式化比较强烈的特征，以非形式化的教学方式进行数学教学才是关键.
[?] 概念教学中的非形式化
中职数学对于概念教学要紧紧抓住非形式化的特征，因为过于抽象的表征对于中职教学而言是不适合的，笔者尊崇心理学家布鲁诺的教学建议，常常用非形式化、形象化的教学特征来进行数学概念教学. 如：在《不等式的概念教学》这一认知章节中，笔者充分运用了各种情境化、形象化的手段，让教学过程更符合中职生认知心理.
案例1：《不等式的基本性质》概念教学
环节1：课堂引入
自然层面案例：“两岸青山相对出，远近高低各不同”.
人文层面案例：测量长度均为4米的两根木棍，精确到毫米是否完全一样呢？（不等是绝对的）
目的：使学生认识到不等的无处不在，了解为什么要学习不等式性质.
环节2：数量关系（投影）
给出几幅图，请同学们阅读其中的数量关系.
图1，太平洋上热带风暴.
图2，糖水加糖变甜.
图3，航海三角形.
图4，太湖水位.
图5，某品牌酸奶中脂肪的含量f应不少于3.6%，蛋白质的含量p应不少于1.8%.
目的：通过大量的实际图例，使得学生了解其中存在的数据关系、数量关系，进一步表示这些数量关系用到了什么样的数学知识？显然是不等式，这是不等式学习的价值和意义所在. 将数学问题从形象化的特征中抽取出来，体现了无处不在的不等性质.
环节3：感受不等
学生：可以用不等式或不等式组来表示. （用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式）
教师：能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的目的.
（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）
图4的表达式关注a≤x≤b的使用，图5表达式若写成：f≥3.6%或p≥1.8%是错误的，应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为f≥3.6%，p≥1.8%.（也可以表示成f≥3.6%且p≥1.8%）
目的：通过幻灯投影，将不等式的表达引入到课堂教学中为进一步引进不等式性质打下基础.
环节4：基本性质
1986年前苏联切尔诺贝利核电站发生泄漏，产生大量核辐射. 核辐射主要存在三种射线：ALPHA（阿尔法）射线、BETA（贝塔）射线、GAMMA（伽玛）射线. 我们不妨记ALPHA（阿尔法）粒子的质量为a，BETA（贝塔）粒子的质量为b，GAMMA（伽玛）粒子的质量为c，三者的质量关系是a>b，b>c，那么：
（1）考虑到a>b，若利用天平称量两种粒子的质量，显然贝塔粒子一端下降，交换两种粒子的位置，则另一端下降，于是可以得到性质（1）：若a>b，则b
（3）请大家在天平两端放上ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子各一枚，然后同时各自加上一枚GAMMA（伽玛）粒子，则天平平衡性保持不变，得到性质（3）：若a>b，则a c>b c. （可加性）
（4）学生仿：在天平两端放上ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子各一枚，然后在重的一边加上伽马粒子一枚，轻的一端加上更轻的代尔塔粒子一枚，则可得性质（4）：若a>b，c>d，则a c>b d.（同向不等式可加性）
（5）若取出m（m>0）个ALPHA（阿尔法）粒子与BETA（贝塔）粒子，按类别放在天平两端，则显然ma>mb，得到性质（5）：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac
（7）当能量很大的时候，ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子都会发生裂变，它们裂变的速度不同，不妨设每次每个ALPHA（阿尔法）粒子分裂为3个小ALPHA（阿尔法）粒子，每次每个BETA（贝塔）粒子分裂为2个小的BETA（贝塔）粒子，经过n-1（n∈N，n≥2）次分裂之后，得两种粒子个数分别为3n、2n个，由指数函数图象可知，3n>2n（n∈N，n≥2），得到性质（7）：若a>b>0，则an>bn（n∈N，n≥2）. （乘方法则） （8）当能量不足的时候，ALPHA（阿尔法）粒子、BETA（贝塔）粒子都会发生聚合，它们聚合的速度也不同，3个小ALPHA（阿尔法）粒子聚合成一个大的ALPHA（阿尔法）粒子，2个BETA（贝塔）粒子聚合成一个大的BETA（贝塔）粒子，若现在两种粒子个数分别为3n、2n个，且3n>2n（n∈N，n≥2），经过n-1（n∈N，n≥2）次聚合之后，得3>2，我们令a=3n、b=2n，且a>b>0，则3=a>b=2，得到性质（8）：若a>b>0，则>（n∈N，n≥2）. （开方法则）
说明：本节中，笔者将不等式的常用八个性质关系，用问题串的形式进行了整合，以核辐射的问题为载体，以非形式化的方式再现了性质之间的前后联系、呼应，中职生对于形象化的数学学习产生了极大的兴趣，进而让不等式性质的教学得到了一定充分的实施.
[?] 解题教学中的非形式化
解题是数学教学不可回避的重要内容，介于中职生对于抽象、形式化数学学习的理解存在缺失，笔者认为以非形式化的解题方式有利于抽象数学问题的解决和讲解、传授.来看一个案例，
案例2：已知指数函数y=g（x）满足g（-2）=，又函数f（x）=是定义域为R的奇函数，求函数f（x）的解析式.
分析：本题主要考查学生对指数函数和奇函数概念的理解，考查学生的计算能力和估算能力及问题转化的能力. 笔者通过阅卷发现许多学生对本题是利用奇函数的定义来求m，n的，但由于刚好击中了学生的“软肋”：薄弱的计算能力，好多学生都算不下去，最终都“无功而返”.事实上，通过定义来计算m，n是一种“通性通法”，学生应加以掌握，下面给出他们的完整解法：因f（x）=-f（-x）对?x∈R恒成立，故=-，即（-2x n）（2-x 1 m）=（2x 1 m）（2-x-n）对?x∈R恒成立，整理得：2（mn-2） （2n-m）（2x 2-x）=0，所以，mn-2=0，2n-m=0， 即m=2，n=1，或m=-2，n=-1.因f（x）的定义域为R，故函数f（x）的解析式为f（x）=.
辨析：通过上述教学方式，笔者发现学生解决类似问题依旧不能相当熟练，究其原因是学生无法对于任意的x进行处理，因此中职生在解决此类问题的时候，宜采用非形式化的方式，即利用f（-1）=-f（1）就可以轻松解决中职生无法化简带有参数的问题，提高了问题解决的效率.
总之，非形式化是一种教学的手段，它恰当的使用有利于中职生学习抽象的数学、形式化的数学，笔者对于此做了概念教学、解题教学的初次探索，笔者认为这种探索是符合学生心理学习特征的. 笔者认为，中职数学的学习通过非形式化手段上升到形式化的结果是正常过程，但也不能完全一味的非形式化，两者的适度有机结合是有利于中职数学教学的高效开展.