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【摘要】函数是中学数学中极其重要的内容之一。它是数形结合的重要体现之一，它与一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程方程、一元二次不等式有着密切的联系，在学生的数学学习过程中有着重要的意义和作用。
【关键词】初中数学函数学习数形结合
1函数概念剖析
函数，实质就是两个变量之间的变化关系中其中一个变量（自变量）决定另一个变量（阴变量）因变量叫自变量的函数，强调每给自变量一个值因变量都有唯一一个值与之对应。会用图像判断两个变量之间是否是函数函数不是数，需要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，对变量概念的学习不能简单地理解为变量与变量这一关系。函数关系的本质是———对应关系。
2关于一次函数的教学
一次函数是较为简单、应用较为广泛的一种函数。学这部分内容主要解决两个问题：⑴一次函数概念、图像和性质。⑵一次函数图象的应用。一次函数是学生在初中阶段接触的第一类函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，所以我们在课堂教学设计时一定要了解学生的认知水平，充分了解学生的思维特点，合理设计教学方案，使学生能更好的掌握本学段的知识。设计时可以从以下几个方面进行：
1.弄清楚一次函数及正比例函数的定义及定义中的要点：比如一次函数定义中（1）比例系数 k≠0；（2）自变量的次数是 1；（3）常数项可以是任意实数。正比例函数定义中：①比例系数 k≠0；②自变量的次数是 1；③常数项= 0。
2.弄清楚一次函数与正比例函数的联系。
3.对于一次函数的性质，应从一次函数与正比例函数的异同点来选择行走路线。（1）相同点：当 K >0 时，图象都经过第一、三象限，且 Y 随 X 的增大而增大；当 K <0 时，图象都经过第二、四象限，且 Y 随 X 的增大而减小。（2）不同点：①一次函数 Y = kX b（ k≠0）的图象经过（0，b）、（ - b/k，0） 的一条直线，正比例函数 Y = kX（ k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线，即一次函数图象一般不经过原点；②一个一次函数 Y = kX b（ k≠0）图象一般经过三个象限；而一个正比例函数图象只经过两个象限（第一、三象限或第二、四象限）。
4.正确掌握学习一次函数的数学思想方法，如数形结合思想，待定系数法等。关于待定系数法，首先要让学生理解感受到待定系数法的本质：对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的作用，不论是正、反比例函数，还是一次函数、二次函数，确定函数解析式时都离不开待定系数法。因此，我们要重视简单的正比例函数、一次函数的待定系数法的应用。要在简单的函数中讲出待定系数法的本质来，等到了反比例函数和二次函数及综合情况，学生已能形成能力，自如使用此方法，这时就是技巧的点拨。
3关于二次函数的教学
1.正确理解二次函数的内涵及本质二次函数 y = ax2 bx c（a≠0，a、b、c 是常数）中含有两个变量 x、y，我们只要先确定其中一个变量的值，就可利用解析式求出另一个变量的值，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形。
2.充分理解特殊型二次函数的图像及性质（1）通过描点，画出 y =2x2、y =2x2 1、y = 2x2- 1 的图像，结合图像讲解 y = ax2与 y = ax2 k 图像之间的联系以及区别。同理，通过观察、归纳、总结出 y = a（x - h）2和 y = a（x-h）2 k 图像的形状及位置。y = a（ x - h）2 k 的图像和性质是在二次函数 y = ax2图像性质的基础上的延续。总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，因此抛物线 y = a（x-h）2 k 是由 y = ax2平移得到的。（2）在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、最值等性质；（3）利用图像来判别二次函数的系数 a、b、c、△以及由系数组成的代数式的符号等问题。
3.灵活运用抛物线的“顶点”（1）要能准确灵活地求出“顶点”。形如 y = a（x - h）2 K→顶点（h，k），对于其它形式的二次函数，我们可利用顶点坐标公式求出顶点。（2）理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系。若顶点为（h，k），则对称轴为 x = h，y 最大（小） = k；反之，若对称轴为 x = m，y 最值 = n，则顶点为（m，n）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果。（3）利用顶点画草图。在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图像。
4思考与启示
4.1注重函数的多种表示，并注重函数多种表示之间的联系与转换
多种研究表明，为了发展学生对函数思想的理解，必须使他们对函数的多种表示———数值表示、图像表示、解析表示、语言表示有相当丰富的经历。用多种形式描述和呈现同一对象是一种有效获得对概念本身或问题背景深入理解的方法。 把各种表达形式相互联系起来，可以使其中的每一个都得到更好的理解。因此，在学习函数概念以及具体的一次函数、反比例函数和二次函数概念时，应注意函数表示方式的多样性，从而使学生对函数概念有一个更为准确、全面的理解。
4.2加强变量的教学
初中函数定义采用的是“变量说”定义，它建立在变量的基础上，强调了变化。 而学生对于变量的理解是比较困难的。有研究者曾对学习过函数的 300 个初三学生作过一个调查：请指出圆的周长与半径的函数关系式 l=2πr 中的变量，调查结果表明大部分学生不能正确地理解变量。 在一个大样本的纸笔测试①中，让学生说出某个常见问题情境中的变量是什么，测试结果表明：只有 26.1%的学生回答正确，这也说明大部分学生不能正确地理解变量。既然大部分学生不能正确地理解变量，那就需要教师加强对于变量的教学。不仅仅只是在学习函数概念之前才学习变量，而是应该在学习具体函数的时候适时地进行变量的再学习，以促进学生对于变量的理解。比如，对于一个实际情境，教师可以引导学生进行如下分析：该问题中有几个量？ 是常量还是变量？ 如果是变量，变量间的关系是函数关系吗？ 如果是函数，是哪一类函数？ 是哪一个函数？
参考文献
[1]李海东.从各版课标教材的比较谈初中函数教学[J].数学通报.2010，49（12）.
[2]曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002，11（2）.
[3]刘静.函数的学习困难与课程设计[J].课程·教材·教法，2006，26（4）.
【关键词】初中数学函数学习数形结合
1函数概念剖析
函数，实质就是两个变量之间的变化关系中其中一个变量（自变量）决定另一个变量（阴变量）因变量叫自变量的函数，强调每给自变量一个值因变量都有唯一一个值与之对应。会用图像判断两个变量之间是否是函数函数不是数，需要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，对变量概念的学习不能简单地理解为变量与变量这一关系。函数关系的本质是———对应关系。
2关于一次函数的教学
一次函数是较为简单、应用较为广泛的一种函数。学这部分内容主要解决两个问题：⑴一次函数概念、图像和性质。⑵一次函数图象的应用。一次函数是学生在初中阶段接触的第一类函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，所以我们在课堂教学设计时一定要了解学生的认知水平，充分了解学生的思维特点，合理设计教学方案，使学生能更好的掌握本学段的知识。设计时可以从以下几个方面进行：
1.弄清楚一次函数及正比例函数的定义及定义中的要点：比如一次函数定义中（1）比例系数 k≠0；（2）自变量的次数是 1；（3）常数项可以是任意实数。正比例函数定义中：①比例系数 k≠0；②自变量的次数是 1；③常数项= 0。
2.弄清楚一次函数与正比例函数的联系。
3.对于一次函数的性质，应从一次函数与正比例函数的异同点来选择行走路线。（1）相同点：当 K >0 时，图象都经过第一、三象限，且 Y 随 X 的增大而增大；当 K <0 时，图象都经过第二、四象限，且 Y 随 X 的增大而减小。（2）不同点：①一次函数 Y = kX b（ k≠0）的图象经过（0，b）、（ - b/k，0） 的一条直线，正比例函数 Y = kX（ k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线，即一次函数图象一般不经过原点；②一个一次函数 Y = kX b（ k≠0）图象一般经过三个象限；而一个正比例函数图象只经过两个象限（第一、三象限或第二、四象限）。
4.正确掌握学习一次函数的数学思想方法，如数形结合思想，待定系数法等。关于待定系数法，首先要让学生理解感受到待定系数法的本质：对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的作用，不论是正、反比例函数，还是一次函数、二次函数，确定函数解析式时都离不开待定系数法。因此，我们要重视简单的正比例函数、一次函数的待定系数法的应用。要在简单的函数中讲出待定系数法的本质来，等到了反比例函数和二次函数及综合情况，学生已能形成能力，自如使用此方法，这时就是技巧的点拨。
3关于二次函数的教学
1.正确理解二次函数的内涵及本质二次函数 y = ax2 bx c（a≠0，a、b、c 是常数）中含有两个变量 x、y，我们只要先确定其中一个变量的值，就可利用解析式求出另一个变量的值，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形。
2.充分理解特殊型二次函数的图像及性质（1）通过描点，画出 y =2x2、y =2x2 1、y = 2x2- 1 的图像，结合图像讲解 y = ax2与 y = ax2 k 图像之间的联系以及区别。同理，通过观察、归纳、总结出 y = a（x - h）2和 y = a（x-h）2 k 图像的形状及位置。y = a（ x - h）2 k 的图像和性质是在二次函数 y = ax2图像性质的基础上的延续。总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，因此抛物线 y = a（x-h）2 k 是由 y = ax2平移得到的。（2）在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、最值等性质；（3）利用图像来判别二次函数的系数 a、b、c、△以及由系数组成的代数式的符号等问题。
3.灵活运用抛物线的“顶点”（1）要能准确灵活地求出“顶点”。形如 y = a（x - h）2 K→顶点（h，k），对于其它形式的二次函数，我们可利用顶点坐标公式求出顶点。（2）理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系。若顶点为（h，k），则对称轴为 x = h，y 最大（小） = k；反之，若对称轴为 x = m，y 最值 = n，则顶点为（m，n）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果。（3）利用顶点画草图。在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图像。
4思考与启示
4.1注重函数的多种表示，并注重函数多种表示之间的联系与转换
多种研究表明，为了发展学生对函数思想的理解，必须使他们对函数的多种表示———数值表示、图像表示、解析表示、语言表示有相当丰富的经历。用多种形式描述和呈现同一对象是一种有效获得对概念本身或问题背景深入理解的方法。 把各种表达形式相互联系起来，可以使其中的每一个都得到更好的理解。因此，在学习函数概念以及具体的一次函数、反比例函数和二次函数概念时，应注意函数表示方式的多样性，从而使学生对函数概念有一个更为准确、全面的理解。
4.2加强变量的教学
初中函数定义采用的是“变量说”定义，它建立在变量的基础上，强调了变化。 而学生对于变量的理解是比较困难的。有研究者曾对学习过函数的 300 个初三学生作过一个调查：请指出圆的周长与半径的函数关系式 l=2πr 中的变量，调查结果表明大部分学生不能正确地理解变量。 在一个大样本的纸笔测试①中，让学生说出某个常见问题情境中的变量是什么，测试结果表明：只有 26.1%的学生回答正确，这也说明大部分学生不能正确地理解变量。既然大部分学生不能正确地理解变量，那就需要教师加强对于变量的教学。不仅仅只是在学习函数概念之前才学习变量，而是应该在学习具体函数的时候适时地进行变量的再学习，以促进学生对于变量的理解。比如，对于一个实际情境，教师可以引导学生进行如下分析：该问题中有几个量？ 是常量还是变量？ 如果是变量，变量间的关系是函数关系吗？ 如果是函数，是哪一类函数？ 是哪一个函数？
参考文献
[1]李海东.从各版课标教材的比较谈初中函数教学[J].数学通报.2010，49（12）.
[2]曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002，11（2）.
[3]刘静.函数的学习困难与课程设计[J].课程·教材·教法，2006，26（4）.