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三、重构:基于对探究目标的分析探究学习路径
我们来分析一下人教版教科书有关该部分内容的呈现方式(图2)。
教科书编写者的思路大概是:先通过一个直观的图形,一个现实的生活情景,初步感知“三角形两边的和大于第三边”。然后,通过做一做得到“如果两条线段的和大于第三条线段,就能够围成一个三角形”“如果两条线段的和小于或者等于第三条线段,就围不成三角形”。这样,就从两个方面验证了“三角形任意两边的和大于第三条边”。
因而,教科书也提供了一条探究思路。从小明家到学校有3条路线可走,从学生的生活经验出发,可以得到,走中间路线最近。中间路线最近,即中间路线比上面的路线近,比下面的路线也近。比上面的路线近,就是上面的路线比中间的路线远。上面的路线就是三角形两边的和,于是可知两边的和大于第三边。
其实,为了方便学生“用三角形任意两边的和与第三边比”,并轻松地得到“三角形任意两边的和大于第三边”,可以对教科书作适当的改造,即把图2改造成图3。
这样,学生就能够在一个一般的三角形中思考问题。从小明家去学校,怎样走最近?从小明家到学校有两条路线可走,一条是直着走,一条是拐弯走。从学生的生活经验出发,可以容易地得到直着走的路线近,也就是拐弯走的路线远。拐弯走的路线就是三角形两条边的和,直着走的路线就是第三边,于是可知,两边的和大于第三边。同样可以提出类似的问题:如果小明从学校去邮局,怎样走最近?如果小明从邮局去小明家,怎样走最近?根据学生的经验并提取已有的知识,可以得到两边的和大于第三边。于是得到三角形任意两边的和大于第三边。这就达到了“删繁就简三秋树”的目的:既然我们探究的是“三角形任意两边的和大于第三边”,一个一般的三角形就够了,删繁就简,直奔目标。越是简单的,就越能抓住本质,越是最好的。教科书设计三条路线,分散了探究的主题,不利于学生在一个三角形中思考问题,因而值得商榷。
通过对教科书的分析、批判、改进和对以上案例的反思,我们可以重构一个“围绕探究目标”的探究学习路径:直观感知—类比推理—数学化—巩固结论—进一步数学化—推广。第一步,直观感知。从小明家到学校有两条路:一条是直着走,另一条是拐弯走。直着走,近;拐弯走,远。所以,拐弯走的路线比直着走的路线远。第二步,类比推理。如果小明从学校到邮局,走哪条路线近呢?如果小明从邮局到小明家,走哪条路线近呢?于是得到,所有拐弯走的路线都比直着走的路线远。第三步,数学化。以上路线围成了大家熟悉的三角形。思考:怎样用三角形的有关概念来表述我们探究时得到的一些结论?你能够得到一个怎样的结论?第四步,巩固结论。通过练习,巩固刚刚得到的结论。第五步,进一步数学化,即用字母表示结论。第六步,推广:四边形四条边之间有什么样的关系?
围绕探究目标、基于教科书的探究学习设计,有以下优点。其一,从学生的生活经验出发,既能够使其水到渠成地想到用一条边与另外两边的和去比,也能够使其自然地猜测到“两边的和大于第三边”。其二,可以避免以上案例中出现的探究目标偏离问题,即学生探究得到的结论与教师想要得到的结论并不一致。其三,该设计依赖的生活经验是“直着走,别拐弯,近”,依赖的理论知识是“两点之间,线段最短”;使用的方法是穷举法。这些知识和方法都具有一般性。案例中教师所作的设计,依赖的生活经验是“连起来,拱起来就要长”;使用的方法是举例子,是不完全归纳;使用的是“学习的承袭性原则”,“即人们习惯于在更一般的情况下使用一些法则,而不顾这些法则只是在一些特例下导出并成立的”。这些知识和方法都缺少一般性。
四、建议:围绕探究目标,设计探究路径
(一)围绕探究目标,设计真实的探究路径
以下两种倾向,应该引起我们的重视。
1.探究路径真实,探究目标偏离。科学的探究活动的一个基本特征是有明确的目的性。从而,如果我们将过程与结果绝对地对立起来,并认为可以唯一地集中于所谓的过程性目标而完全不用顾及相关活动的意义的话,那么相关的活动就根本不能被看成真正的探究。在上述案例中,教师所设计的探究学习路径,是一个真实的探究路径,但是偏离了探究的目标。
2.探究目标明确,探究路径虚假。北京师范大学出版社出版的全日制义务教育教科书七年级下册《数学》对“三角形全等判定条件”的探究设计,就存在类似的问题。怎样探究两个三角形全等的条件呢?教科书是这样设计的:只给一个条件(比如对应边相等),能判断两个三角形全等吗?给两个呢?给三个呢?
这样的思路恰恰错了。有了三角形全等的定义后(这完全是一个直观的定义),为什么要探究全等三角形的性质(即对应边相等,对应角相等)?其目的除了认识全等三角形的性质外,还包括为了探究两个三角形全等的必要条件。为什么要探究三角形全等的必要条件,其目的是为了探究三角形全等的充分条件。已经有了三角形全等的概念(概念本身就是一个充分必要条件),为什么还要探究其他的充分条件,是为了找到更好地、更简捷地判断两个三角形全等的条件。既然是寻求简捷地判定三角形全等的条件,一个合理的探究思路是,在“三条边对应相等、三个角对应相等”这一过硬条件的基础上,不断减少条件,即怎样减少条件,也能够保证两个三角形全等。因此,真正的探究路径应该是不断减少条件,而不是增加条件。
教科书的做法,是教学法的颠倒,是“把马车放到了马的前面”。这样的路径,不是探究的真实路径。因为,“那种自负地宣称小数点后面第七位数字是准确的而无视小数点左边的数字都错了的态度,并不是科学的态度”。数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么,而在于数学是什么……如果不正视数学的本质问题,便解决不了关于教学上的争议。
(二)批判性地使用教科书,设计逼真的探究案例
对教科书的使用,以下两种倾向,应该引起我们的重视。
1.把教科书作为参考书。课程改革提出了一些观点,比如,教科书是学生从事数学学习的基本“素材”,是师生交流的“话题”。这些观点是针对过分强调教科书的作用而提出的,具有一定的合理性。但是,不能因此而走向极端,否定教科书的作用,把教科书作为可有可无的“参考”。从上述案例对三角形三边关系的探究来看,人教版教科书设计了很好的探究思路,教师如果能够很好地理解这一思路,稍作改进,就能够设计出比较合理的探究学习案例,避免不必要的错误和繁琐。
2.不加批判地使用教科书。优秀教科书的形成过程,是一个不断修改、不断完善的过程。一套教科书,总有其优点,也总有其缺点。在使用教科书的时候,要作批判性的加工和创造。对于“三角形三边关系”的探究,有的教科书是这样设计的:首先让学生度量三角形的三边,然后计算两边的和,最后用两边的和与第三边去比,得到“两边的和大于第三边”。这样的探究,消解了探究的关键问题,即“如何想到用两边的和与第三边去比”,因而是一个虚假的探究。对这样的设计,我们要批判性地改造之。(作者单位:杭州师范大学)
作者简介:教授,教育学博士,心理学博士后,主要研究方向是基础教育数学课程改革的理论和实践,数学教育心理。在《课程教材教法》《人民教育》等刊物发表文章四十余篇,主持全国教育科学“十一五”规划课题“基于学生认知发展水平的课程标准的适切性研究”。
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
我们来分析一下人教版教科书有关该部分内容的呈现方式(图2)。
教科书编写者的思路大概是:先通过一个直观的图形,一个现实的生活情景,初步感知“三角形两边的和大于第三边”。然后,通过做一做得到“如果两条线段的和大于第三条线段,就能够围成一个三角形”“如果两条线段的和小于或者等于第三条线段,就围不成三角形”。这样,就从两个方面验证了“三角形任意两边的和大于第三条边”。
因而,教科书也提供了一条探究思路。从小明家到学校有3条路线可走,从学生的生活经验出发,可以得到,走中间路线最近。中间路线最近,即中间路线比上面的路线近,比下面的路线也近。比上面的路线近,就是上面的路线比中间的路线远。上面的路线就是三角形两边的和,于是可知两边的和大于第三边。
其实,为了方便学生“用三角形任意两边的和与第三边比”,并轻松地得到“三角形任意两边的和大于第三边”,可以对教科书作适当的改造,即把图2改造成图3。
这样,学生就能够在一个一般的三角形中思考问题。从小明家去学校,怎样走最近?从小明家到学校有两条路线可走,一条是直着走,一条是拐弯走。从学生的生活经验出发,可以容易地得到直着走的路线近,也就是拐弯走的路线远。拐弯走的路线就是三角形两条边的和,直着走的路线就是第三边,于是可知,两边的和大于第三边。同样可以提出类似的问题:如果小明从学校去邮局,怎样走最近?如果小明从邮局去小明家,怎样走最近?根据学生的经验并提取已有的知识,可以得到两边的和大于第三边。于是得到三角形任意两边的和大于第三边。这就达到了“删繁就简三秋树”的目的:既然我们探究的是“三角形任意两边的和大于第三边”,一个一般的三角形就够了,删繁就简,直奔目标。越是简单的,就越能抓住本质,越是最好的。教科书设计三条路线,分散了探究的主题,不利于学生在一个三角形中思考问题,因而值得商榷。
通过对教科书的分析、批判、改进和对以上案例的反思,我们可以重构一个“围绕探究目标”的探究学习路径:直观感知—类比推理—数学化—巩固结论—进一步数学化—推广。第一步,直观感知。从小明家到学校有两条路:一条是直着走,另一条是拐弯走。直着走,近;拐弯走,远。所以,拐弯走的路线比直着走的路线远。第二步,类比推理。如果小明从学校到邮局,走哪条路线近呢?如果小明从邮局到小明家,走哪条路线近呢?于是得到,所有拐弯走的路线都比直着走的路线远。第三步,数学化。以上路线围成了大家熟悉的三角形。思考:怎样用三角形的有关概念来表述我们探究时得到的一些结论?你能够得到一个怎样的结论?第四步,巩固结论。通过练习,巩固刚刚得到的结论。第五步,进一步数学化,即用字母表示结论。第六步,推广:四边形四条边之间有什么样的关系?
围绕探究目标、基于教科书的探究学习设计,有以下优点。其一,从学生的生活经验出发,既能够使其水到渠成地想到用一条边与另外两边的和去比,也能够使其自然地猜测到“两边的和大于第三边”。其二,可以避免以上案例中出现的探究目标偏离问题,即学生探究得到的结论与教师想要得到的结论并不一致。其三,该设计依赖的生活经验是“直着走,别拐弯,近”,依赖的理论知识是“两点之间,线段最短”;使用的方法是穷举法。这些知识和方法都具有一般性。案例中教师所作的设计,依赖的生活经验是“连起来,拱起来就要长”;使用的方法是举例子,是不完全归纳;使用的是“学习的承袭性原则”,“即人们习惯于在更一般的情况下使用一些法则,而不顾这些法则只是在一些特例下导出并成立的”。这些知识和方法都缺少一般性。
四、建议:围绕探究目标,设计探究路径
(一)围绕探究目标,设计真实的探究路径
以下两种倾向,应该引起我们的重视。
1.探究路径真实,探究目标偏离。科学的探究活动的一个基本特征是有明确的目的性。从而,如果我们将过程与结果绝对地对立起来,并认为可以唯一地集中于所谓的过程性目标而完全不用顾及相关活动的意义的话,那么相关的活动就根本不能被看成真正的探究。在上述案例中,教师所设计的探究学习路径,是一个真实的探究路径,但是偏离了探究的目标。
2.探究目标明确,探究路径虚假。北京师范大学出版社出版的全日制义务教育教科书七年级下册《数学》对“三角形全等判定条件”的探究设计,就存在类似的问题。怎样探究两个三角形全等的条件呢?教科书是这样设计的:只给一个条件(比如对应边相等),能判断两个三角形全等吗?给两个呢?给三个呢?
这样的思路恰恰错了。有了三角形全等的定义后(这完全是一个直观的定义),为什么要探究全等三角形的性质(即对应边相等,对应角相等)?其目的除了认识全等三角形的性质外,还包括为了探究两个三角形全等的必要条件。为什么要探究三角形全等的必要条件,其目的是为了探究三角形全等的充分条件。已经有了三角形全等的概念(概念本身就是一个充分必要条件),为什么还要探究其他的充分条件,是为了找到更好地、更简捷地判断两个三角形全等的条件。既然是寻求简捷地判定三角形全等的条件,一个合理的探究思路是,在“三条边对应相等、三个角对应相等”这一过硬条件的基础上,不断减少条件,即怎样减少条件,也能够保证两个三角形全等。因此,真正的探究路径应该是不断减少条件,而不是增加条件。
教科书的做法,是教学法的颠倒,是“把马车放到了马的前面”。这样的路径,不是探究的真实路径。因为,“那种自负地宣称小数点后面第七位数字是准确的而无视小数点左边的数字都错了的态度,并不是科学的态度”。数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么,而在于数学是什么……如果不正视数学的本质问题,便解决不了关于教学上的争议。
(二)批判性地使用教科书,设计逼真的探究案例
对教科书的使用,以下两种倾向,应该引起我们的重视。
1.把教科书作为参考书。课程改革提出了一些观点,比如,教科书是学生从事数学学习的基本“素材”,是师生交流的“话题”。这些观点是针对过分强调教科书的作用而提出的,具有一定的合理性。但是,不能因此而走向极端,否定教科书的作用,把教科书作为可有可无的“参考”。从上述案例对三角形三边关系的探究来看,人教版教科书设计了很好的探究思路,教师如果能够很好地理解这一思路,稍作改进,就能够设计出比较合理的探究学习案例,避免不必要的错误和繁琐。
2.不加批判地使用教科书。优秀教科书的形成过程,是一个不断修改、不断完善的过程。一套教科书,总有其优点,也总有其缺点。在使用教科书的时候,要作批判性的加工和创造。对于“三角形三边关系”的探究,有的教科书是这样设计的:首先让学生度量三角形的三边,然后计算两边的和,最后用两边的和与第三边去比,得到“两边的和大于第三边”。这样的探究,消解了探究的关键问题,即“如何想到用两边的和与第三边去比”,因而是一个虚假的探究。对这样的设计,我们要批判性地改造之。(作者单位:杭州师范大学)
作者简介:教授,教育学博士,心理学博士后,主要研究方向是基础教育数学课程改革的理论和实践,数学教育心理。在《课程教材教法》《人民教育》等刊物发表文章四十余篇,主持全国教育科学“十一五”规划课题“基于学生认知发展水平的课程标准的适切性研究”。
□责任编辑 邓园生
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