论文部分内容阅读
【摘要】 提出了在采用坐标法的基础上运用代数方法研究对象的一种思想，这也是解析几何的最突出的特点，但是将它运用到实践当中却需要丰富的经验和扎实的基本功，要求有很强的综合运用能力． 直线和二次曲线是我们目前阶段研究的主要对象． 一次方程和二次方程是我们应用代数方法解决此类问题的主要途径． 因此，本文从解析几何的教学实践当中总结出这门课程的基本特点，并相应地提出了针对这些特点的一些方法思路．
【关键字】 坐标法 代数方法 综合运用能力
１． 辩证思想的培养和辩证方法的运用是解析几何教学的根本特点
鉴于解析几何的研究对象和研究方法，在教学过程中要充分揭示教材在知识、方法间的辩证关系，使学生在学习和运用教材的过程中，养成用联系、运动、变化的观点思考问题，理解和掌握教材内容的辩证实质，而不能形式化的背诵结论． 为了达到这个目的，可以充分利用直观的图形和教具． 这样有利于学生直接地观察到图形的变化，并看到图形在变化过程中的相互关系．
另外，要注意充分揭示教材之间的联系，正确使用类比和比较的方法． 例如，在讲过椭圆以后，利用类比的方法，仿照这个过程去研究双曲线． 这样既有助于加深对双曲线的理解，也使学生更深刻地从本质上掌握了两者的异同．
２． 在解析几何的解决方法中，应重视图形的重要作用
解析几何是综合运用知识性很强的学科，它要求学生具备一定的逻辑思维能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力，特别是空间想象能力． 解析几何有其自身的特点，那就是从想象图形中的形状和位置关系，到想象动点如何描述；另一个方面，从一个抽象的方程想象出一个图形再到想象出它的特点． 基于上述特点，我们在解析几何的教学过程中，应提醒学生注意根据自己已知的条件画出一个比较标准的图形，这样会有助于解决题目． 例如，有这样一个题目：
如图所示，已知直线ｌ１：ｋｘ － ｙ ＋ ３ｋ ＝ ０交ｘ轴于Ａ点，ｌ２：ｘ ＋ ｋｙ － ３ ＝ ０交ｘ轴于Ｂ点（ｋ为任意实数），直线ｌ１和直线ｌ２交于Ｐ点．
（１） 求点Ｐ的轨迹方程，并判断是什么曲线.
（２） 若｜ＰＡ｜ ＝，求ｋ的值．
一般来说，学生往往会单纯的用解析几何的知识解决问题． 例如：先将两个直线方程联立，求出Ｐ点的坐标：ｘ ＝， ｙ ＝ ,后再消去ｋ，求出点Ｐ应满足方程ｘ·ｘ＋ｙ·ｙ ＝ ９.又求出Ａ，Ｂ的坐标分别是（－３，０）和（３，０），从而算出｜ＡＢ｜ ＝ ６，然后再根据Ｐ点在圆ｘ·ｘ＋ｙ·ｙ ＝ ９上，又满足｜ＰＡ｜ ＝ ３，从而求出Ｐ点坐标，进而得出k ＝ ±．
这种方法思路简单直接，但是计算量较大． 事实上，如果想分析两种方法的特点，可知对任意给的ｋ值，直线ｌ１和ｌ２都是相互垂直的，Ａ，Ｂ两点坐标也易得． 画出反映题意的图形后，利用平面几何的知识可以立即得到结论：Ｐ点在以ＡＢ为直径的圆上，而且不难求得圆的方程为ｘ·ｘ＋ｙ·ｙ ＝ ９，最后通过对图形的分析，利用直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角等于３０°得到结果．
不过应该注意，点Ｐ的轨迹是不可能与点Ａ、点Ｂ重合的．
在解此类问题时，应当灵活地综合运用平面几何和解析几何的知识，充分利用图形的特点来帮助和挖掘题目中所给的隐含条件，从而达到正确解题的目的． 数形结合是解析几何中一条重要的解题思想. 它能够将抽象的代数方程转化成具体的几何图形，这比单纯的通过方程之间的特征和公式来找出图像位置关系要形象得多，也更容易让学生理解，因此要特别重视这种思想在解题过程中的运用．
运动，变化，联系，对应是近代数学的基本思想和方法，这些方法在解析几何中也起着决定性的作用． 首先，联系，变化，对应的思想在解析几何中处处被用到，点和数的联系和对应；图形与方程的联系和对应；各种二次曲线与相应方程中“参数”的联系和对应等． 其次，解析几何还把曲线看做点运动的轨迹，把方程中未知变量看成是变数，而方程则是这两个变数之间的函数关系． 解析几何充分体现了这些辩证的思想和观点，这种思想和观点的掌握和应用，不仅对学生学习数学及其他学科有益，而且对他们今后的生活和工作都有好处．
３． 结论
通过以上的描述我们知道，数学，特别是解析几何与其他科目是一个相同的体系，没有哪一个学科是独立于其他学科之外的，解析几何也不例外． 我们在解决问题的时候，不要总把眼光放在题目本身上，有时候甚至不能放在学科本身上，要有目的有步骤地联系到与之相关的其他知识． 这样才能把一个题目真正理解了. 俗话说，“条条大路通罗马”． 但是，在学习上我不但要有这样的尝试精神，还要有“走最短的路到罗马”的进取精神，这样我们在考试中才能“走得又快又好”． 当然，考试只是检验学生在一个阶段学习成果的方式和手段，在强调素质教育的今天，我们更注重对学生素质的培养. 今天的文章就是一个不错的典范，它的思路真正是对学生素质的培养，希望我们的尝试能够起到抛砖引玉的作用，以使我国素质教育更进一步．
【参考文献】
［１］ 邵光华. 论空间想象能力及几何教学［Ｊ］. 课程·教材·教法，２００７（７） ：３２ － ３５．
［２］ 韩瑞珠. 线性代数与空间解析几何教学中的一点体会［Ｊ］. 工科数学，２００７（６）：５２－５８．
［３］ 陈烂辉，王廷明，满江红．高师几何课程改革的探讨［Ｊ］．数学教育学报，２００６，１０（１）：９７．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键字】 坐标法 代数方法 综合运用能力
１． 辩证思想的培养和辩证方法的运用是解析几何教学的根本特点
鉴于解析几何的研究对象和研究方法，在教学过程中要充分揭示教材在知识、方法间的辩证关系，使学生在学习和运用教材的过程中，养成用联系、运动、变化的观点思考问题，理解和掌握教材内容的辩证实质，而不能形式化的背诵结论． 为了达到这个目的，可以充分利用直观的图形和教具． 这样有利于学生直接地观察到图形的变化，并看到图形在变化过程中的相互关系．
另外，要注意充分揭示教材之间的联系，正确使用类比和比较的方法． 例如，在讲过椭圆以后，利用类比的方法，仿照这个过程去研究双曲线． 这样既有助于加深对双曲线的理解，也使学生更深刻地从本质上掌握了两者的异同．
２． 在解析几何的解决方法中，应重视图形的重要作用
解析几何是综合运用知识性很强的学科，它要求学生具备一定的逻辑思维能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力，特别是空间想象能力． 解析几何有其自身的特点，那就是从想象图形中的形状和位置关系，到想象动点如何描述；另一个方面，从一个抽象的方程想象出一个图形再到想象出它的特点． 基于上述特点，我们在解析几何的教学过程中，应提醒学生注意根据自己已知的条件画出一个比较标准的图形，这样会有助于解决题目． 例如，有这样一个题目：
如图所示，已知直线ｌ１：ｋｘ － ｙ ＋ ３ｋ ＝ ０交ｘ轴于Ａ点，ｌ２：ｘ ＋ ｋｙ － ３ ＝ ０交ｘ轴于Ｂ点（ｋ为任意实数），直线ｌ１和直线ｌ２交于Ｐ点．
（１） 求点Ｐ的轨迹方程，并判断是什么曲线.
（２） 若｜ＰＡ｜ ＝，求ｋ的值．
一般来说，学生往往会单纯的用解析几何的知识解决问题． 例如：先将两个直线方程联立，求出Ｐ点的坐标：ｘ ＝， ｙ ＝ ,后再消去ｋ，求出点Ｐ应满足方程ｘ·ｘ＋ｙ·ｙ ＝ ９.又求出Ａ，Ｂ的坐标分别是（－３，０）和（３，０），从而算出｜ＡＢ｜ ＝ ６，然后再根据Ｐ点在圆ｘ·ｘ＋ｙ·ｙ ＝ ９上，又满足｜ＰＡ｜ ＝ ３，从而求出Ｐ点坐标，进而得出k ＝ ±．
这种方法思路简单直接，但是计算量较大． 事实上，如果想分析两种方法的特点，可知对任意给的ｋ值，直线ｌ１和ｌ２都是相互垂直的，Ａ，Ｂ两点坐标也易得． 画出反映题意的图形后，利用平面几何的知识可以立即得到结论：Ｐ点在以ＡＢ为直径的圆上，而且不难求得圆的方程为ｘ·ｘ＋ｙ·ｙ ＝ ９，最后通过对图形的分析，利用直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角等于３０°得到结果．
不过应该注意，点Ｐ的轨迹是不可能与点Ａ、点Ｂ重合的．
在解此类问题时，应当灵活地综合运用平面几何和解析几何的知识，充分利用图形的特点来帮助和挖掘题目中所给的隐含条件，从而达到正确解题的目的． 数形结合是解析几何中一条重要的解题思想. 它能够将抽象的代数方程转化成具体的几何图形，这比单纯的通过方程之间的特征和公式来找出图像位置关系要形象得多，也更容易让学生理解，因此要特别重视这种思想在解题过程中的运用．
运动，变化，联系，对应是近代数学的基本思想和方法，这些方法在解析几何中也起着决定性的作用． 首先，联系，变化，对应的思想在解析几何中处处被用到，点和数的联系和对应；图形与方程的联系和对应；各种二次曲线与相应方程中“参数”的联系和对应等． 其次，解析几何还把曲线看做点运动的轨迹，把方程中未知变量看成是变数，而方程则是这两个变数之间的函数关系． 解析几何充分体现了这些辩证的思想和观点，这种思想和观点的掌握和应用，不仅对学生学习数学及其他学科有益，而且对他们今后的生活和工作都有好处．
３． 结论
通过以上的描述我们知道，数学，特别是解析几何与其他科目是一个相同的体系，没有哪一个学科是独立于其他学科之外的，解析几何也不例外． 我们在解决问题的时候，不要总把眼光放在题目本身上，有时候甚至不能放在学科本身上，要有目的有步骤地联系到与之相关的其他知识． 这样才能把一个题目真正理解了. 俗话说，“条条大路通罗马”． 但是，在学习上我不但要有这样的尝试精神，还要有“走最短的路到罗马”的进取精神，这样我们在考试中才能“走得又快又好”． 当然，考试只是检验学生在一个阶段学习成果的方式和手段，在强调素质教育的今天，我们更注重对学生素质的培养. 今天的文章就是一个不错的典范，它的思路真正是对学生素质的培养，希望我们的尝试能够起到抛砖引玉的作用，以使我国素质教育更进一步．
【参考文献】
［１］ 邵光华. 论空间想象能力及几何教学［Ｊ］. 课程·教材·教法，２００７（７） ：３２ － ３５．
［２］ 韩瑞珠. 线性代数与空间解析几何教学中的一点体会［Ｊ］. 工科数学，２００７（６）：５２－５８．
［３］ 陈烂辉，王廷明，满江红．高师几何课程改革的探讨［Ｊ］．数学教育学报，２００６，１０（１）：９７．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”